이 글에서는 다면체와 정다면체와 관련된 문제를 다루었습니다. 정다면체를 변형시킨 쌍대 다면체, 준정다면체, 깎은 정다면체와 관련된 문제와 전개도를 활용한 다양한 문제에 대한 내용을 포함하고 있습니다.
개요
다면체 문제
[문제] 다음 조건을 모두 만족하는 입체도형의 면, 모서리, 꼭짓점 개수를 구하여라.
- 두 밑면은 서로 평행하다.
- 옆면의 모양은 사다리꼴이다.
- 밑면의 모양은 구각형이다.
[풀이] 주어진 조건을 만족하는 입체도형은 구각뿔대이다.
- 면 : 9+2=11
- 모서리 : 9+9+9=27
- 꼭짓점 : 9+9=18
[문제] 다음 조건을 만족시키는 입체도형의 꼭짓점 개수를 구하여라.
- 밑면이 하나이다.
- 옆면이 삼각형이다.
- 모서리와 꼭짓점의 개수를 더하면 25이다.
[풀이] 주어진 조건을 만족하는 입체도형은 $n$각뿔이다.
- $n$각뿔의 모서리 개수 : $n+n=\bbox[#ffff00]{2n}$
- $n$각뿔의 꼭짓점 개수 : $\bbox[#dcff8c]{n+1}$
$\bbox[#ffff00]{2n}+\bbox[#dcff8c]{n+1}=3n+1=25$
$n=8$이고 8각뿔의 꼭짓점 개수는 9개이다.
정다면체 문제
정다면체의 정의
[문제] 정다면체에 대한 설명 중 바르지 않은 것을 찾아 고치시오.
- 각 면의 모양이 모두 합동인 정다각형이다.
- 자연수 n에 대하여 정n각형으로 정다면체를 만들 수 있을 때, 가능한 n의 값은 5개이다.
- 각 꼭짓점에 모인 면의 개수는 일정하다.
- 정삼각형으로 만들 수 있는 정다면체는 하나이다.
- 정다면체는 오직 5개 뿐이다.
- 모든 정다면체는 평행한 면이 있다.
- 정다면체의 면의 개수보다 꼭짓점의 개수가 더 많다.
- 정다면체의 모서리 개수는 면, 꼭짓점 개수 보다 항상 많다.
[풀이] 1,3,5,8은 참이다.
2. 정삼각형, 정사각형, 정오각형만 정다면체를 만들수 있다. 따라서 자연수 n은 3개이다.
4. 정삼각형으로 만들 수 있는 정다면체는 정사면체, 정팔면체, 정이십면체 세 개이다.
6. 정사면체는 평행한 면이 없다.
7. 정팔면체는 꼭짓점(6개)보다 면(8개)의 수가 더 많다.
면 모서리 꼭짓점 개수
(볼록) 다면체의 면 하나에 적어도 $\textcolor{blue}{3}$개의 모서리가 있고 모서리는 $\textcolor{red}{2}$개의 면이 만날 때 생긴다. 따라서 주어진 다면체의 최소 모서리 개수를 다음과 같이 생각할 수 있다.
\begin{align} \dfrac{\textcolor{blue}{3}\times \text{(면의 개수)}}{\textcolor{red}{2}} &\leq \text{(모서리 개수)}\\[1em]
\dfrac{3}{2}\times\text{(면의 개수)}&\leq \text{(모서리 개수)}\\[1em]
\therefore \text{(모서리 개수)}&>\text{(면의 개수)} \end{align}
오일러 정리($v-e+f=2$)를 이용해 꼭짓점의 개수와 모서리의 개수를 비교하면
\begin{align} v&=e-f+2 \; (f\geq 3)\\[1em]
v&= e-f+2 \leq e-1<e \end{align}
따라서 볼록 다면체의 모서리의 개수는 항상 면, 꼭짓점 개수보다 많다.
정다면체의 종류
[문제] 정다면체를 구성할 수 있는 조건을 찾고 만들 수 있는 정다면체를 구하여라.
- 면의 모양이 정삼각형이고, 한 꼭짓점에 2개의 면이 모인다.
- 면의 모양이 정사각형이고, 한 꼭짓점에 3개의 면이 모인다.
- 면의 모양이 정삼각형이고, 한 꼭짓점에 4개의 면이 모인다.
- 면의 모양이 정오각형이고, 한 꼭짓점에 3개의 면이 모인다.
- 면의 모양이 정삼각형이고, 한 꼭짓점에 5개의 면이 모인다.
- 면의 모양이 정육각형이고, 한 꼭짓점에 3개의 면이 모인다.
[풀이]
- 입체도형을 구성하기 위해 한 꼭짓점에 최소 3개의 면이 필요하다.
- 정육면체
- 정팔면체
- 정십이면체
- 정이십면체
- 정육각형의 한 내각이 $120^\circ$이므로 세 면이 모이면 $360^\circ$가 되고 평면을 만든다.
꼭짓점, 모서리 개수
[문제] 정십이면체와 정이십면체의 꼭짓점과 모서리 개수를 구하는 과정을 서술하여라.
[풀이]
- 정십이면체
- 꼭짓점: $\dfrac{5 \times 12}{3}=20$개
- 모서리: $\dfrac{5 \times 12}{2}=30$개
- 정이십면체
- 꼭짓점: $\dfrac{3 \times 20}{5}=12$개
- 모서리: $\dfrac{3 \times 20}{2}=30$개
풀이에 대한 자세한 설명은 정다면체 포스팅을 참고하길 바란다.
정다면체를 변형한 입체도형 문제
쌍대 다면체
[문제] 주어진 정다면체의 이웃한 면의 중심을 연결한 정다면체를 구해라.
[풀이]
- 정사면체 $\leftrightarrow$ 정사면체
- 정육면체 $\leftrightarrow$ 정팔면체 (순환)
- 정십이면체 $\leftrightarrow$ 정이십면체 (순환)
준정다면체
[문제] 정육면체의 모서리절반을 잘라낸 입체도형(육팔면체)에 대하여 다음에 답하여라.
- 면의 종류와 개수
- 꼭짓점 개수
- 모서리 개수
[풀이]
- 면의 종류 : 정삼각형, 정사각형
정육면체의 면 $\rightarrow$ 정사각형 6개
꼭짓점이 잘린 곳 $\rightarrow$ 정삼각형 8개 - 꼭짓점 개수
사각형이 6개 삼각형이 8개 이므로 중복을 허용하여 개수를 세고 중복횟수로 나누어 계산
$4\times 6 +3\times 8=48\quad$$\quad \xrightarrow[\text{중복:4}]{\div 4} \dfrac{48}{4}=12$개 - 모서리 개수
- 사각형이 6개 삼각형이 8개 이므로 중복을 허용하여 개수를 세고 중복횟수로 나누어 계산
$4\times 6 +3\times 8=48\quad$$\quad \xrightarrow[\text{중복:2}]{\div 2} \dfrac{48}{2}=24$개
깎은 정다면체
[문제] 정이십면체의 꼭짓점에서 모서리의 $\dfrac{1}{3}$만큼 잘라내서 만든 축구공모양의 입체도형(깎은이십면체)에 대하여 다음에 답하여라.
- 면의 종류와 개수
- 꼭짓점 개수
- 모서리 개수
[풀이]
- 면의 종류 : 정육각형, 정오각형
이십면체의 면 $\rightarrow$ 정육각형 20개
꼭짓점이 잘린 곳 $\rightarrow$ 정오각형 12개 - 꼭짓점 개수
육각형 20개 오각형 12개 이므로 중복을 허용하여 개수를 세고 중복 횟수 만큼 나누어 계산.
$6\times 20 +5\times 12=180\quad$$\quad \xrightarrow[\text{중복:3}]{\div 3} \dfrac{180}{3}=60$개 - 모서리 개수
육각형 20개 오각형 12개 이므로 중복을 허용하여 개수를 세고 중복 횟수 만큼 나누어 계산.
$6\times 20 +5\times 12=180\quad$$\quad \xrightarrow[\text{중복:2}]{\div 2} \dfrac{180}{2}=90$개
전개도 활용 문제
전개도와 위치관계
[문제] 주어진 전개도를 이용해 만든 정팔면체의 변 $\overline{AD}$와 꼬인위치에 있는 선분을 구하여라.
[풀이]
전개도를 이용해 입체도형의 꼭짓점의 기호를 붙일 때는 방향성을 가지고 순서대로 기호를 붙이면 된다. (반시계 방향)
- $A\rightarrow B \rightarrow C \rightarrow D\rightarrow I(=A)$
- $I \rightarrow D \rightarrow E \rightarrow F\rightarrow G(=A)$
$\overline{AD}$와 꼬인위치를 찾는 방법은 다음과 같다.
꼬인위치는 평면상의 위치관계가 아니므로 $\overline{AD}$와 한 평면에 있을 수 있는 선분을 제외 한다.
- $\triangle{JAD}, \triangle{HAD},\square{ABCD}$위의 선분 제외
나머지 선분은 $\overline{AD}$와 만나지도 평행하지도 않고 따라서 꼬인위치라고 할 수 있다.
$\overline{JB}, \overline{JC}, \overline{HB}, \overline{HC}$
전개도에서 만나는 점 찾기
[문제] 전개도에서 만나는 점을 선으로 연결하여라.
[풀이]
정육면체와 정십이면체는 한 꼭짓점에서 만나는 면의 개수가 3개이다.
- $\textcolor{red}{\bullet}$: 연결 안함 (3개 만남)
- $\textcolor{blue}{\bullet}$: 면 하나와 연결
- $\bullet$: 면 두개와 연결
다음 문제에 다시 한번 적용해 보세요.
전개도와 최단거리
[문제] 밑면 $\square{BCDE}$가 정사각형이고 $\angle{ACD}=20^\circ$인 사각뿔 A-BCDE에 대하여 꼭짓점 $B$에서 $\overline{AC},\; \overline{AD}$위의 점 $P,\;Q$를 지나 꼭짓점 E까지 이르는 최단거리를 구하여라.
[풀이]
사각뿔의 전개도에서 직선 거리 $\overline{BE}$가 최단거리이다.
- $\angle{BAE}=60^\circ$이고 $\overline{AB}=\overline{AE}$이므로 $\triangle{ABE}$는 정삼각형이다.
따라서 $\overline{BE}=10$이다.
이상으로 다면체에 관련된 문제풀이를 마무리 하도록 하겠습니다.