다항식의 곱셈을 빠르고 정확하게 계산하기 위해서는 자주 사용되는 전개식을 공식으로 정리해 두는 것이 중요합니다. 이번에는 여러 가지 곱셈 공식을 살펴보고, 각 공식이 어떻게 유도되는지 확인해 보겠습니다. 그리고 곱셈공식을 깔끔하게 정리하는 방법까지 살펴보겠습니다.
곱셈공식
다항식의 곱셈은 분배법칙을 이용하여 전개할 수도 있지만 다음과 같은 곱셈 공식을 이용하면 편리하게 계산할 수 있습니다.
- $(a+b)^2$$=a^2+2ab+b^2$
$(a-b)^2$$=a^2-2ab+b^2$ - $(a+b)(a-b)$$=a^2-b^2$
- $(x+a)(x+b)$$=x^2+(a+b)x+ab$
- $(ax+b)(cx+d)$$=acx^2+(ad+bc)x+bd$
- $(x+a)(x+b)(x+c)$$=x^3+(a+b+c)x^2+(ab+bc+ca)x+abc$
$(x-a)(x-b)(x-c)$$=x^3-(a+b+c)x^2+(ab+bc+ca)x-abc$ - $(a+b+c)^2$$=a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca$
- $(a+b)^3$$=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$
$(a-b)^3$$=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3$ - $(a+b)(a^2-ab+b^2)$$=a^3+b^3$
$(a-b)(a^2+ab+b^2)=a^3-b^3$ - $(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)$$=a^3+b^3+c^3-3abc$
- $(a^2+ab+b^2)(a^2-ab+b^2)$$=a^4+a^2b^2+b^4$
곱셈 공식 (1)~(4)는 중학교에서 이미 학습한 것이므로 (5)~(10)를 유도해 보도록 하겠습니다.
유도
(5) $(x+a)(x+b)(x+c)$$=\{(x+a)(x+b)\}(x+c)$
$=\{x^2+(a+b)x+ab\}(x+c)\cdots (3)$
$=x^3+cx^2+(a+b)x^2+(a+b)cx+abx+abc$
$=x^3+(a+b+c)x^2$$+(ab+bc+ca)x+abc$
(6) $(a+b+c)^2$$=\{(a+b)+c\}^2$
$=(a+b)^2+2(a+b)c+c^2 \cdots (1)$
$=a^2+2ab+b^2+2ac+2bc+c^2$
$=a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca$
(7) $(a+b)^3=(a+b)(a+b)^2$$=(a+b)(a^2+2ab+b^2)\cdots (1)$
$=a^3+2a^2b+ab^2+a^2b+2ab^2+b^3$
$=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$
(8) $(a+b)(a^2-ab+b^2)=a^3-a^2b+ab^2+a^2b-ab^2+b^3=a^3+b^3$
$(a-b)(a^2+ab+b^2)=a^3+a^2b+ab^2-a^2b-ab^2-b^3=a^3-b^3$
(9) $(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)$
$={\color{blue}a^3}+ab^2+ac^2-a^2b{\color{red}-abc}-a^2c$
$+a^2b+{\color{blue}b^3}+bc^2-ab^2-b^2c{\color{red}-abc}$
$+a^2c+b^2c+{\color{blue}c^3}{\color{red}-abc}-bc^2-ac^2$
$={\color{blue}a^3+b^3+c^3}{\color{red}-3abc}$
(10) $(a^2+ab+b^2)(a^2-ab+b^2)$
$=\{(a^2+b^2)+ab\}\{(a^2+b^2)-ab\}$
$=(a^2+b^2)^2-(ab)^2\cdots (2)$
$=a^4+2a^2b^2+b^4-a^2b^2\cdots (1)$
$=a^4+a^2b^2+b^4$
식을 전개하면 위의 결과를 얻을 수 있다는 사실을 알게 되었습니다. 이제 정리하는 방법에 대해 살펴봅시다.
노트 정리 팁
(6) $(a+b+c)^2$을 분배 법칙을 이용해 전개하면 서로 같은 문자끼리 한번씩 곱해지고, 서로 다른 문자$(ab, bc,ca)$는 두 번씩 곱해진 결과를 얻게 됩니다.
(7) $(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$, $(a-b)^3=a^3+3a^2b-3ab^2+b^3$과 같은 세 제곱 공식의 경우도 분배를 통해 전개하면 3개씩 곱해지게 되고 동류항의 개수를 생각하여 계수를 생각할 수 있습니다.
(8) $(a+b)(a^2-ab+b^2)=a^3+b^3$, $(a-b)(a^2+ab+b^2)=a^3-b^3$의 경우 다음과 같이 정리해 두면 좋습니다.
(9) $(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)$$=a^3+b^3+c^3-3abc$의 경우 직접 정리해 보면 세지곱과 $-abc$의 항만 남는 것을 알 수 있습니다. 파란 부분이 없어지는 것을 정리해 주세요.
(10) $(a^2+ab+b^2)(a^2-ab+b^2)$$=a^4+a^2b^2+b^4$ 이 공식도 전개를 통해 다음과 같이 없어지는 항을 정리해 주세요.
곱셈 공식은 복잡한 다항식을 매번 분배법칙으로 전개하지 않고 빠르게 계산할 수 있도록 도와줍니다. 각 공식을 단순히 암기하기보다 기본 곱셈 공식과 분배법칙을 이용한 유도 과정을 함께 이해해 두면 다양한 형태의 다항식 계산에도 자연스럽게 적용할 수 있습니다.