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이번 시간에는 소인수분해와 표를 이용해 약수를 체계적으로 구하는 방법을 학습하고 약수의 개수를 구하는 과정을 일반화 하여 일반적 식으로 정리해 보기로 하자. 소인수분해와 약수, 약수의 개수 $12$를 소인수분해하여 나타내면 다음과 같다. $12=2^2\times3$ 소인수분해를 이용해 약수와 약수의 개수를 어떻게 구할 수 있을까? 12의 약수는 12를 나누어 떨어지게 하는 수 이므로 다음과 같이 표현할 수 있다. $\dfrac{12}{12\text{의 약수}}=\dfrac{{\color{blue}2^2}\times{\color{red}3^1}}{\text{12의 … Read more

이번 시간에는 인수와 소인수를 정의하고 소인수분해와 이를 간결하게 표현하기 위한 거듭제곱 표기법에 대해 학습해 보기로하자. 인수와 소인수 약수와 인수 먼저 정의를 정리하고 인수에 대해 정리해 보자. 예를 들어 $12$는 $\{\color{black}{1},\color{blue}{2},\color{red}{3},\color{red}{4},\color{blue}{6},\color{black}{12}\}$로 나누어 떨어지고 이를 12의 약수라고 할 수 있다. $12$를 나누어 떨어지는 수를 이용해 $12$를 곱으로 표현하면 다음과 같다. 두 자연수를 곱해서 $12$일 떄, 구성하는 각 … Read more

이번 시간에는 소수와 합성수에 대해 정리하고 소수를 찾는 방법으로 에라토스테네스의 체에 대하여 학습하고 마지막으로 소수 판정법에 대해 학습하기로 하자. 먼저 두 가지 초등학교와 중학교에서 배우는 두 소수의 의미에 대해 간단히 정리하자. 초등학교 때 배운 소수는 소~수로 읽고 오늘 학습할 소수는 소쑤로 발음한다는 것을 기억하고 학습을 이어가자. 자연수의 ‘분해’ 수학에서 분해는 주어진 수나 식을 곱셈으로 정리하는 … Read more

이번 시간에는 자연수를 다루는데 기초가 되는 2,3,4,5,8,9,11,13의 배수 판정법에 대해 정리해 보자. 이를 이용하면 쉽게 약수를 구할 수 있어 소인수 분해를 이용한 모든 계산에 유용하게 사용할 수 있다. 모든 자연수는 1의 배수이기 때문에 2의 배수 부터 차근 차근 정리해 보기로 하자. 2, 5, 4, 8 의 배수 판정법 2의 배수 판정법 마지막 한 자리가 $2$의 … Read more

이번 시간에는 명제의 참과 거짓을 진리집합을 이용해 정리해 보려고 한다. 수학에서는 발견된 사실을 명제로 표현하고, 명제의 참과 거짓을 판단하는 증명의 과정을 거친다. 이 과정을 논리학이라고 하고 고등학교 수학을 학습하기 위해 매우 중요한 과정이다. 명제 ‘옳고 그름을 판정할 수 있는 문장이나 식’예를들어 “맞꼭지각의 크기는 서로 같다”는 참인 명제이다.명제는 주로 $p,q,r$을 이용해 나타낸다. [개념주의]바로 다음 학습하는 조건도 … Read more

지수법칙은 중학교에서 자연수 범위에서 다루고 지수의 확장을 통해 고등학교 에서는 정수, 유리수 범위 까지 확장되며, 지수함수를 통해 지수의 범위는 실수까지 확장된다. 여기서는 자연수 범위에서 지수법칙을 검증하고 정수 범위로 확장되는 과정에 대한 증명을 자세히 다뤄 보도록 하겠다. 지수법칙 (지수가 자연수) 실수 $a,b$ 와 자연수 $m,n$에 대하여 다음이 성립한다. 법칙이 사실인지 확인 하는 과정은 다음과 같다. 지수가 … Read more

이번 시간에는 이차식 인수분해를 쉽게 하는 방법에 대해 학습해 보기로 하자. 이해를 돕기 위해 결론부터 이야기하고 원리에 대해 설명을 이어가도록 하겠다. 이차식 인수분해 이차식은 간단히 인수분해 될 수도 있으나 간단한 일차식(정수계수 일차식)으로 인수분해가 어려운 경우도 있다. 먼저 이를 빠르게 파악하는 것이 인수분해를 잘하는 핵심이다. 만약 간단히 인수분해를 못한다면 근의 공식을 써야 하기 때문이다. 인수분해 가능성 … Read more

이번 시간에는 중학교 3학년 고등학교 1학년에 등장하는 인수분해 공식을 정리하려고 한다. 인수분해의 뜻과 용어 정리 예를 들면 다음과 같다. $x^2+5x+6 \rightleftharpoons (x+2)(x+3)$ 따라서 인수분해는 전개의 역과정이다. 중3과 고1의 인수분해 차이 중학교 3학년에서는 이차식을 인수분해하여 항 이 두 개 이하인 식으로 정리하는 인수분해를 주로 다루고, 고등학교 1학년에서는 3차 이상의 식의 인수분해, 항이 셋 이상인 식으로 인수분해 … Read more

이번 시간에는 곱셈공식 변형식에 대해 정리해 보기로 하자. 먼저 곱셈공식을 정리하고 본론으로 들어가자. 곱셈공식 정리 곱셈공식은 중학교 3학년과 고등학교 1학년에 배운다. 아래의 식이 기억나지 않는다면 복습을 하고 학습을 이어가길 바란다. 중학교 곱셈공식 (중3) (복습) $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2\\[1em]$$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2\\[1em]$$(a+b)(a-b)=a^2-b^2\\[1em]$$(x+a)(x+b)=x^2+(a+b)x+ab\\[1.5em]$$\begin{align}(ax&+b)(cx+d)\\&=acx^2+(ad+bc)x+bd\end{align}$ 고등학교 곱셈공식 (고1) (복습) $\begin{align}(a+&b+c)^2\\&=a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca\end{align}\\[2em]$$(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3\\[1em]$$(a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2+b^3\\[1em]$$(a+b)(a^2-ab+b^2)=a^3+b^3\\[1em]$$(a-b)(a^2+ab+b^2)=a^3-b^3\\[1em]$$\begin{align}(a+&b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)\\&=a^3+b^3+c^3-3abc\end{align}\\[2em]$$\begin{align}(a^2&+ab+b^2)(a^2-b+b^2)\\&=a^4+a^2b^2+b^4\end{align}\\[2em]$ 곱셈공식 변형식 암기할 내용의 수가 많으면 암기할 내용을 분류하여 분류 기준을 생각한 다음 암기 하는 … Read more