삼각형의 내심의 응용 정리, 예제

삼각형의 내심은 세 내각의 이등분선이 만나는 점으로, 내접원의 중심이라는 사실은 널리 알려져 있습니다. 하지만 단순한 정의를 넘어서, 내심의 응용은 삼각형의 넓이, 접선의 길이, 각의 크기 계산 등 다양한 문제에 등장합니다.

이 글에서는 내심의 개념을 실제 문제에 어떻게 적용할 수 있는지를 세 가지 대표 응용을 통해 구체적으로 살펴봅니다. 단순한 이론 암기를 넘어, 내심을 도구로 활용하는 사고 과정까지 함께 익히고자 한다면, 끝까지 읽어보시길 권합니다.

내심과 삼각형의 넓이

삼각형의 세 변의 길이가 주어질 때 함께 삼각형의 넓이를 내접원의 반지름을 이용해 간단한 공식으로 계산할 수 있습니다.

내접원의 반지름과 삼각형의 넓이

[증명]

각 부분 삼각형의 넓이는 밑변과 높이를 이용하여 다음과 같이 나타낼 수 있습니다.

1. $\triangle{ABI} = \dfrac{1}{2} \times c \times r$
2. $\triangle{BCI} = \dfrac{1}{2} \times a \times r$
3. $\triangle{CAI} = \dfrac{1}{2} \times b \times r$

변변 더하면 $\triangle{ABC}$의 넓이는 다음과 같습니다.

• $\triangle{ABC} = \dfrac{1}{2} \times (a + b + c) \times r $

예제

$\triangle{ABC}$의 세 변의 길이가 각각 $a = 13$, $b = 14$, $c = 15$이고, 넓이가 $84$일 때 내접원의 반지름 $r$을 구하시오.

• $\triangle{ABC}: \dfrac{1}{2} \times (a + b + c)\times r = 84$

위의 방정식을 풀면 다음과 같습니다.

\begin{flalign} \dfrac{1}{2} \times (13 + 14 + 15) \times r &= 84\\
21\times r&=84&& \end{flalign}

따라서 $r = \dfrac{84}{21}$ 이고 $r=4$ 입니다.

응용2. 내심과 접선의 길이

삼각형의 내접원은 삼각형의 세 변에 동시에 접하고, 한 꼭짓점에서 변에 그은 두 접선의 길이는 항상 같습니다. 이 성질을 이용하면 삼각형의 각 변에 대한 접선 길이를 식으로 나타내고, 실제 길이를 구하는 문제를 풀 수 있습니다.

내접원의 접선의 길이

접선의 길이에 대한 본격적인 학습은 중학교 3학년에서 다룹니다.

• 접선의 길이 문제 (중3)

[증명]

예제

삼각형 $\triangle ABC$의 세 변의 길이가 각각 $\overline{AB} = 15$, $\overline{BC} = 13$, $\overline{CA} = 12$일 때, $\overline{BD}$의 길이를 구하여라.

$\overline{BD} = \overline{BE} = x$로 두면, 다음이 성립합니다.

1. $\overline{CE} = \overline{CF} = 13-x$
2. $\overline{AD} = \overline{AF} = 15-x$

\begin{flalign}\overline{CA}&=\overline{AF}+\overline{CF}
(13-x)+(15-x)&=12&&\end{flalign}

위의 식을 풀면 $\overline{BD}=8$임을 알 수 있습니다.

응용3. 내심과 각의 크기

내심은 세 각의 이등분선이 만나는 점으로, 이를 기준으로 나누어진 각의 관계를 이용하면 여러 각의 크기를 효율적으로 구할 수 있습니다.

내심과 삼각형의 각의 크기1

$\triangle{ABC}$의 내심$I$에 대하여 다음이 성립합니다.

• $\angle{x} + \angle{y} + \angle{z} = 90^\circ$

[증명]

$I$가 내심이므로 $\overline{AI},\;\overline{BI},\;\overline{CI}$는 각의 이등분선이고 $\angle{A},\;\angle{B},\;\angle{C}$의 이등분된 각을 각각 $x,\; y,\;z$라고 할 때, 다음을 만족합니다.

1. $\angle{A}=2x$
2. $\angle{B}=2y$
3. $\angle{C}=2z$

삼각형의 세 내각의 크기의 합은 항상 $180^\circ$이므로, $\angle{A} + \angle {B} + \angle {C} = 180^\circ$ 이고 따라서 다음이 성립합니다.

• $2x+2y+2z=180^\circ$ $\Rightarrow\; x+y+z=90^\circ$

예제

$\triangle{ABC}$의 내심 $I$에 대하여 각 $x$의 크기를 구하여라.

내심과 삼각형의 각의 크기2

$\triangle{ABC}$의 내심$I$에 대하여 다음이 성립합니다.

• $\angle{BIC} = 90^\circ + \dfrac{1}{2} \angle{a}$

[증명]

$I$가 내심이므로 $\overline{AI},\;\overline{BI},\;\overline{CI}$는 각의 이등분선이고 $\angle{A},\;\angle{B},\;\angle{C}$의 이등분된 각을 각각 $x,\; y,\;z$라고 할 때, 다음을 만족합니다.

변변 더하여 정리하면 다음과 같습니다.

\begin{flalign} \angle{BIC} &= \angle{BID}+\angle{CID}\\
&=x+\bbox[#ffff00]{x+y+z}\\
&=\bbox[#ffff00]{90^\circ} + \bbox[#dcff8d]{x} &&\end{flalign}

따라서 다음과 같은 결과를 얻을 수 있습니다.

• $\angle{BIC} =\bbox[#ffff00]{90^\circ} + \bbox[#dcff8d]{\dfrac{1}{2}\angle{a}}$

예제

$\triangle{ABC}$의 내심 $I$에 대하여 각 $x$의 크기를 구하여라.

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