부등식의 성질과 이항

부등식을 쉽게 풀려면 부등식의 성질을 알아두는 게 중요합니다. 같은 수를 더하거나 빼면 부등호는 그대로, 양수를 곱하거나 나눠도 유지되지만 음수를 곱하거나 나누면 방향이 바뀝니다. 이 간단한 규칙을 응용하면 부등식도 방정식처럼 쉽게 다룰 수 있습니다.

부등식의 용어 및 정의, 표현법

먼저 부등식의 정의와 용어 표현법에 대해 정리해 봅시다.

• 부등식 : 부등호를 사용하여 수 또는 식의 대소관계를 나타낸 식
  • 부등호 : $<,\;>,\; \leq,\; \geq$
• 용어 : 부등식 $\bbox[#ffff00]{3x-2}>\bbox[#dcff8c]{5}$에 대하여
  • 좌변 : $\bbox[#ffff00]{3x-2}$
  • 우변 : $\bbox[#dcff8c]{5}$
  • 양변 : 좌변 $+$우변

부등호의 기본성질로 다음을 정리합시다.

1. 두 수 $a$와 $b$의 대소 관계는 다음 셋 중 하나이다.
   1. $a>b$
   2. $a=b$
   3. $a<b$
2. 등호가 포함된 부등호의 의미
   • $a\leq b$ : $a<b$ 이거나 $a=b$
   • $a\geq b$ : $a>b$ 이거나 $a=b$

부등식 표현법

작지 않다, 크지 않다 표현

1. $a$는 $b$보다 작지 않다
   • $a>b$ 이거나 $a=b$
   • $\therefore \; a\geq b$
2. $a$는 $b$보다 크지 않다
   • $a<b$ 이거나 $a=b$
   • $\therefore \; a\leq b$

부등식의 해

예를 들어 부등식 $x+2<6$에 대하여 $x=3,\; x=5$인 경우에 대해 생각해 봅시다.

• $x=3$ ; $x+2=5<6$, 부등식이 참
• $x=5$ ; $x+2=7<6$, 부등식이 거짓

방정식에서 처럼 부등식을 ‘참’이되게 하는 값을 ‘부등식의 해’라고 하고 관련된 용어를 정리하면 다음과 같습니다.

• 부등식의 해 : 부등식이 참이 되게하는 미지수의 값
• 부등식을 푼다 : 부등식의 해를 $\bbox[#ffff00]{\text{모두}}$ 구한다.
  • $x$의 값의 범위가 주어지지 않은 경우 $x$는 모든 수로 간주

개념확인

해의 범위가 주어진 경우

$x=0,1,2,3$에 대하여 부등식 $2x-1<3$의 해를 구하여라.

• $x=0$ : $2x-1=-1<3$ $\therefore$ 참
• $x=1$ : $2x-1=1<3$ $\therefore$ 참
• $x=2$ : $2x-1=3<3$ $\therefore$ 거짓
• $x=3$ : $2x-1=5<3$ $\therefore$ 거짓

따라서 부등식의 해는 $\therefore\; x= 0,\;x=1$이다.

해의 범위가 주어지지 않은 경우

$x$의 범위가 주어지지 않으면 부등식 $2x-1<3$의 해는 유리수 범위에서 생각해야 합니다. 따라서 위의 문제에서 구한 $x=0,\;x=1$ 이외에도 무한히 많은 수를 생각할 수 있습니다. 위의 문제 풀이에서 발견한 다음 사실을 이용하면 해를 구할 수 있습니다.

• $x=2$ 일 때 $2x-1=3$
• $x$값이 작아지면 $2x-1$의 값도 작아진다.

따라서 부등식이 성립하는 모든 $x$값은 $x<2$이고, 이것이 부등식의 해가 됨을 알 수 있습니다.

방정식을 등식의 성질을 이용해 쉽게 풀이 했던 것처럼 부등식을 쉽게 풀어내기 위해서 부등식의 성질에 대해 알아보기로 합시다. 등식의 성질을 복습하려면 아래의 링크를 이용해 주세요.

• 등식의 성질, 이항 (중학교 1학년)

부등식의 성질

1. 부등식의 양변에 같은 수를 더하거나 빼도 부등호의 방향은 바뀌지 않는다.
   • $a<b$ 이면 $a+c<b+c$
   • $a<b$ 이면 $a-c<b-c$
   • 이항 성립 (설명 : 아래참고)
2. 부등식의 양변에 같은 $\bbox[#ffff00]{\text{양수(c)}}$를 곱하거나 나누어도 부등호의 방향은 바뀌지 않는다.
   • $a<b$ 이면 $a\bbox[#ffff00]{c}<b\bbox[#ffff00]{c}$
   • $a<b$ 이면 $\dfrac{a}{\bbox[#ffff00]{c}}<\dfrac{b}{\bbox[#ffff00]{c}}$
3. 부등식의 양변에 같은 $\bbox[#94feff]{\text{음수(c)}}$를 곱하거나 나누면 부등호의 방향이 $\color{red}{\text{반대}}$로 바뀐다.
   • $a<b$ 이면 $a\bbox[#94feff]{c}{\color{red}>}b\bbox[#94feff]{c}$
   • $a<b$ 이면 $\dfrac{a}{\bbox[#94feff]{c}} {\color{red}>}\dfrac{b}{\bbox[#94feff]{c}}$
   • 반대 : $< \; {\color{red}\leftrightarrow} \; >$, $\leq \; {\color{red}\leftrightarrow} \; \geq$

부등식의 성질과 등식의 성질 비교

공통점 (이항)

• 등식 : 양변에 같은 수를 더하거나 빼도 등식이 성립한다.
• 부등식 : 양변에 같은 수를 더하거나 빼도 부등호가 성립한다.

위의 등식의 성질을 적용하는 과정으로 이항을 학습하였습니다. 따라서 부등식에서도 이항이 성립함을 알 수 있습니다.

차이점

• 등식 : 같은 수를 곱하거나 나누어도 등식이 성립한다.
• 부등식
  • 양변에 같은 $\bbox[#ffff00]{\text{양수(c)}}$를 곱하거나 나누어도 부등호의 방향은 바뀌지 않는다.
  • 양변에 같은 $\bbox[#94feff]{\text{음수(c)}}$를 곱하거나 나누면 부등호의 방향이 $\color{red}{\text{반대}}$로 바뀐다.