이등변삼각형의 성질과 조건 증명

이등변삼각형, 정말 단순해 보이지만 알고 보면 수학적 사고력을 키우는 데 꼭 필요한 개념입니다.
이번 글에서는 중학교 수학 교과과정을 기반으로, 이등변삼각형의 성질과 조건, 그리고 이등변삼각형의 중선에 대한 내용까지 한번에 정리하였습니다.

또한 글로 이해하기 어려운 학생들은 아래 학습지를 이용해 학습해 보세요.

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이 글을 끝까지 읽고 나면 단순한 개념 암기를 넘어서,

“왜 이런 성질이 성립할까?”,
“조건과 성질이 같다는 건 무슨 의미일까?”
와 같은 깊이 있는 질문에도 스스로 설명할 수 있는 실력을 갖추게 될 것입니다.

이등변삼각형의 정의

중학교 2학년에서는 이등변삼각형에 대하여 배운 내용을 복습하고, 더 깊이 있는 증명을 다루게 됩니다. 이등변삼각형의 정의를 이용해 이등변삼각형의 성질과 조건을 구조화하여 정리해 봅시다.

• 이등변삼각형의 정의: 두 변의 길이가 같은 삼각형

이등변삼각형의 성질과 조건

1. 밑각에 대한 성질과 조건
   • 이등변삼각형 $\xrightarrow[]{\text{성질1}}$ 두 각의 크기가 같다.
   • 이등변삼각형 $\xleftarrow[]{\text{조건1}}$ 두 각의 크기가 같다.
2. 각의 이등분선에 대한 성질과 조건
   • 이등변삼각형 $\xrightarrow[]{\text{성질2}}$ 꼭지각의 이등분선이 밑변을 수직이등분 한다.
   • 이등변삼각형 $\xleftarrow[]{\text{조건2}}$ 꼭지각의 이등분선이 밑변을 수직이등분 한다.
3. 수직이등분선에 대한 성질과 조건
   • 이등변삼각형 $\xrightarrow[]{\text{성질3}}$ 대변의 수직이등분선이 꼭지각을 지난다.
   • 이등변삼각형 $\xleftarrow[]{\text{조건3}}$ 대변의 수직이등분선이 꼭지각을 지난다.

밑각에 대한 성질과 조건

밑각 성질

이등변삼각형은 두 변의 길이가 같은 삼각형을 의미하고 아래와 같은 성질을 갖습니다. 이를 증명하는 과정은 다음과 같습니다.

• 이등변삼각형 $\xrightarrow[]{\text{성질}}$ 두 각의 크기가 같다.

[증명]

1. 중학교 1학년: 중선(보조선)을 주어진 상태로 성질을 증명
2. 중학교 2학년: 보조선이 주어지지 않은 상태에서 증명

증명의 핵심은 $\overline{BC}$의 중점 $M$에 대해 보조선 $\overline{AM}$을 그리는 것입니다. 중학교 2학년에서는 꼭지각의 이등분선이 아닌 중선을 그려하는 이유에 대해 생각해 보아야 합니다.

• 합동조건을 이용해 밑각이 같음을 보일 때 SSS 합동을 이용하기 위해 중선을 그려야한다.

$\triangle{ABM}\equiv\triangle{ACM}$ (SSS 합동)

1. $\overline{AB}=\overline{AC}$
2. $\overline{BM}=\overline{CM}$
3. $\overline{AM}\text{ : 공통}$

$\therefore\; \angle{ABM}=\angle{ACM}$

Q.E.D.

밑각 조건

“두 밑각의 크기가 같다”는 사실이 이등변삼각형이 되는 조건이 될 수 있는지에 대해 증명해 봅시다.

• 이등변삼각형 $\xleftarrow[]{\text{조건}}$ 두 각의 크기가 같다.

[증명]

1. 중학교 1학년: 각의 이등분선(보조선)이 주어진 상태로 증명
2. 중학교 2학년: 보조선이 주어지지 않은 상태에서 증명

증명의 핵심은 $\angle{A}$의 이등분선과 $\overline{BC}$의 교점 $D$에 대하여 보조선 $\overline{AD}$를 그리는 것입니다. 이 경우도 이유를 살펴보면 다음과 같습니다.

• 밑각의 크기가 같음을 이용해 ASA합동을 적용해서 두 변의 길이가 같음을 보이기 위해 각의 이등분선을 이용해야 합니다.

$\triangle{ABM}\equiv\triangle{ACM}$ (ASA 합동)

1. $\angle{BAD}=\angle{CAD}$
2. $\angle{ADB}=\angle{ADC}$
3. $\overline{AD}\text{ : 공통}$

$\therefore \; \overline{AB}=\overline{AC}$

Q.E.D.

꼭지각의 이등분선 성질, 조건

꼭지각의 이등분선 성질

다음의 두 번째 성질에 대해 정리해 봅시다.

• 이등변삼각형 $\xrightarrow[\text{조건}]{\text{성질}}$ 꼭지각의 이등분선이 밑변을 수직이등분 한다.

[증명]

증명과정에서 중선과 각의 이등분선으로 만들어진 두 삼각형은 각각 합동이됩니다.

1. 중선: $\triangle{ABM}\equiv\triangle{ACM}$ (SSS 합동)
2. 각의 이등분선: $\triangle{ABD}\equiv\triangle{ACD}$ (SSS 합동)

따라서 다음이 성립합니다.

1. 꼭지각의 이등분선은 밑변의 중점($M$)을 지난다.
2. $\angle{ADB}=\angle{ADC}=90^\circ$

위의 사실을 정리하면 이등변삼각형에서 꼭지각의 이등분선이 밑변을 수직이등분 함을 알 수 있습니다.

꼭지각의 이등분선 조건

두 번째 조건에 대한 증명은 합동에 의해 쉽게 증명할 수 있어, 학생들에게 맡기도록 하겠습니다.

• 이등변삼각형 $\xleftarrow[\text{증명 필요}]{\text{조건}}$ 꼭지각의 이등분선이 밑변을 수직이등분 한다.

이등변삼각형의 중선 성질

위의 기본성질을 증명하는 과정에서 이등변삼각형의 꼭지각에서 대변에 그은 중선은 다음의 선분과 일치합니다.

• 이등변삼각형에서 다음 선분은 일치한다.
  1. 꼭지각에서 대변에 그은 중선
  2. 꼭지각의 이등분선
  3. 꼭지각의 대변의 수직이등분선
  4. 꼭지각에서 대변에 내린 수선

수직이등분선의 성질과 조건

꼭지각의 이등분선이 밑변을 수직이등분하는 조건을 만족하면 이등변삼각형이라는 사실을 정리했습니다. 이번에는 주어를 바꾸어 밑변의 수직이등분선에 대한 조건을 생각해 봅시다.

수직이등분선 성질

• 이등변삼각형 $\xrightarrow[]{\text{성질3}}$ 대변의 수직이등분선이 꼭지각을 지난다.

[증명]

이등변삼각형이면 꼭지각($A$)과 대변의 중점($M$)을 연결하면 합동인 삼각형 $\triangle{ABM}\equiv\triangle{ACM}$ (SSS 합동)을 얻을 수 있고 다음이 성립합니다. (밑각의 성질 그림 참고)

• $\overline{AM}=\overline{BM}$
• $\angle{AMB}=\angle{AMC}=90^\circ$

따라서 이 중선이 수직이등분선이 되고 동시에 꼭지각을 지남을 알 수 있습니다.

수직이등분선 조건

• 이등변삼각형 $\xleftarrow[]{\text{조건3}}$ 대변의 수직이등분선이 꼭지각을 지난다.

[증명]

정리

• 이등변삼각형의 성질과 조건 (정의)
  1. 두 변의 길이가 같다.
  2. 두 각의 크기가 같다.
  3. 꼭지각의 이등분선: 밑변을 수직이등분
  4. 밑변의 수직이등분선: 꼭지각을 지남
• 이등변삼각형에서 다음 선분은 일치한다.
  1. 꼭지각에서 대변에 그은 중선
  2. 꼭지각의 이등분선
  3. 꼭지각의 대변의 수직이등분선
  4. 꼭지각에서 대변에 내린 수선

수학의 정의

수학에서 어떤 개념A를 설명할 때 개념A의 성질이면서 조건도 되는 것을 정의로 약속합니다.

• 개념A를 B로 정의
  1. $\text{개념} A \xrightarrow[]{\text{성질}} B$
  2. $B \xrightarrow[]{\text{조건}} \text{개념} A $

일반적으로 이등변삼각형의 정의를 두 변의 길이가 같은 삼각형으로 약속하여 사용합니다. 하지만, 알아두어야할 것은 다음과 같은 것들도 이등변삼각형의 성질이자 조건이 되므로 정의로 도입할 수 있다는 사실입니다.

1. 두 각의 크기가 같다.
2. 꼭지각의 이등분선: 밑변을 수직이등분
3. 밑변의 수직이등분선: 꼭지각을 지남