삼각형의 합동조건과 이등변삼각형 성질 조건 증명

삼각형의 합동조건과 이등변삼각형 성질 조건 증명

기하를 잘 이해하고 싶다면, 반드시 ‘합동’부터 시작해야 합니다.
중학교 1학년 기하 단원에서 핵심 도구로 등장하는 개념이 바로 ‘삼각형의 합동조건’입니다.

이 글에서는 도형의 합동 개념부터 시작해, 삼각형의 합동조건(SSS, SAS, ASA) 을 명확히 정리하고,
이를 토대로 초등학교 때 직관적으로 배운 이등변삼각형의 성질과 조건을 논리적으로 증명하는 과정까지 함께 다룹니다.

특히, 합동을 통해 이등변삼각형의 성질을 증명하는 단계는 단순 암기를 넘어, 수학적 사고력을 깊이 있게 기르는 데 중요한 토대가 될 것입니다. 글로만 보기 어렵다면 수업에 활용한 학습지도 함께 다운로드할 수 있으니, 직접 따라 정리해 보세요.

도형의 합동

도형의 합동 : 두 도형이 완전히 포개어 질 때 서로 합동이라고 합니다.

  • 기호 : (도형1)$\equiv$ (도형2)
  • 대응 : 합동인 두 도형에서 서로 포개어 지는 꼭짓점, 변, 각은 서로$\bbox[#ffff00]{\text{대응한다}}$라고 한다.
    • 대응하는 꼭짓점, 변, 각 $\rightarrow$ 대응점, 대응변, 대응각

합동인 도형의 성질

두 도형이 합동이면 다음 성질이 성립합니다.ㄴ

  1. 대응각의 크기가 같다.
  2. 대응변의 길이가 같다.
  3. 넓이가 같다.

삼각형의 합동

합동인 삼각형 용어 정리

위의 합동인 삼각형 $\triangle{ABC}$와 $\triangle{DEF}$에서 대응점, 대응각, 대응변은 다음과 같습니다.

  • 대응점: $(\bbox[#ffff00]{A,D}),\;(\bbox[#dcff8c]{B,E}),\;(\bbox[#94feff]{C,F})$
  • 대응각: $(\angle{A},\angle{D})$, $(\angle{B},\angle{E})$, $(\angle{C},\angle{F})$ 크기가 같다.
  • 대응변: $(\overline{AB},\overline{DE})$, $(\overline{BC},\overline{EF})$, $(\overline{CA},\overline{FD})$ 길이가 같다.

위와 같이 $\triangle{ABC}$와 $\triangle{DEF}$가 합동임을 나타내는 기호는 다음과 같이 정리할 수 있습니다.

  • 기호 : $\triangle{\bbox[#ffff00]{A}\bbox[#dcff8c]{B}\bbox[#94feff]{C}}\equiv\triangle{\bbox[#ffff00]{D}\bbox[#dcff8c]{E}\bbox[#94feff]{F}}$ (대응점 순서 일치)

합동기호와 등호는 서로 다른 의미로 사용되므로 주의해야 합니다.

  • $\triangle{ABC}\equiv\triangle{DEF}$ : 합동이다.
  • $\triangle{ABC}=\triangle{DEF}$ : 넓이가 같다.

합동과 넓이에 대하여 주의할 사항에 대해 정리하고 다음으로 넘어가 보겠습니다.

  • 합동인 두 도형의 넓이는 같다.
    • $\triangle{ABC}\equiv\triangle{DEF}$ 이면 $\triangle{ABC}=\triangle{DEF}$이다.
  • 두 도형의 넓이가 같다고 해서 합동인 것은 아니다.
    • $\triangle{ABC}=\triangle{DEF}$ 라고 해서 $\triangle{ABC}\equiv\triangle{DEF}$인 것은 아니다.

삼각형의 합동조건

작도를 통해 학습했던 삼각형이 하나로 결정될 조건은 다음과 같습니다.

  1. 세 변의 길이가 주어진 경우
    • (가장 긴 변 길이)$<$(나머지 변의 합)
  2. 두 변의 길이와 끼인각의 크기
  3. 한 변의 길이와 양 끝각의 크기
    • (양 끝각의 합)$<180^\circ$

위의 조건중 하나가 주어지면 삼각형은 오직 하나로 결정됩니다. 따라서 두 삼각형이 세 가지 조건 중 하나를 동시에 만족한다면 두 삼각형은 서로 정확히 겹쳐지고, 합동이 됩니다.

이를 토대로 두 삼각형의 합동조건을 정리하면 다음과 같습니다.

  1. 세 쌍의 대응변의 길이가 각각 같을 때 ($\bbox[#ffc5fd]{SSS}$ 합동)
  2. 두 쌍의 대응변의 길이가 각각 같고 $\bbox[#ffff00]{\text{끼인각}}$의 크기가 같을 때 ($\bbox[#ffc5fd]{SAS}$ 합동)
  3. 한 쌍의 대응변의 길이가 같고 $\bbox[#ffff00]{\text{양 끝각}}$의 크기가 각각 같을 때 ($\bbox[#ffc5fd]{ASA}$ 합동)

매번 조건을 서술하기 번거롭기 때문에 변(Side), 각(Angle)의 머릿글자 S, A를 따서 각 합동조건을 $\bbox[#ffc5fd]{SSS}, \bbox[#ffc5fd]{SAS}, \bbox[#ffc5fd]{ASA}$ 로 표현하기로 약속하였습니다.

합동조건을 시각적으로 아래와 같이 표현하고 암기하는 것이 편합니다.

삼각형의 합동조건 SSS SAS ASA

이등변삼각형의 성질과 조건

초등학교에서 두 변의 길이가 같은 삼각형을 이등변삼각형으로 배웠고, 다음과 같은 사실을 종이접기를 통해 직관적으로 학습하였습니다. 이등변삼각형의 정의를 이용해 아래의 성질에 대해 증명해 보기로 합시다.

  • 이등변삼각형의 정의: 두 변의 길이가 같은 삼각형

중학교 1학년에서 다루는 이등변삼각형의 성질은 다음과 같습니다.

  1. 밑각에 대한 성질과 조건
    • 이등변삼각형 $\xrightarrow[]{\text{성질1}}$ 두 각의 크기가 같다.
    • 이등변삼각형 $\xleftarrow[]{\text{조건1}}$ 두 각의 크기가 같다.
  2. 각의 이등분선에 대한 성질과 조건
    • 이등변삼각형 $\xrightarrow[]{\text{성질2}}$ 꼭지각의 이등분선이 밑변을 수직이등분 한다.
    • 이등변삼각형 $\xleftarrow[]{\text{조건2}}$ 꼭지각의 이등분선이 밑변을 수직이등분 한다.

합동을 학습하면 위의 두 가지 사실에 대해 증명할 수 있다. 전반적인 사고는 중학교 2학년 수준이지만 합동인 삼각형을 찾아 증명하는 과정은 1학년 수준에서 학습할 수 있으므로 합동조건을 적용해 증명해 보자.

이등변삼각형의 성질1

이등변삼각형은 두 변의 길이가 같은 삼각형을 의미하고 아래와 같은 성질을 갖습니다. 이를 증명하는 과정은 다음과 같습니다.

  • 이등변삼각형의 성질: 두 밑각의 크기가 같다
이등변삼각형의 성질 증명

[증명]

증명의 핵심은 $\overline{BC}$의 중점 $M$에 대해 보조선 $\overline{AM}$을 그리는 것입니다.

  1. 중학교 1학년: 중선(보조선)을 주어진 상태로 성질을 증명
  2. 중학교 2학년: 보조선이 주어지지 않은 상태에서 증명

$\triangle{ABM}\equiv\triangle{ACM}$ (SSS 합동)

  1. $\overline{AB}=\overline{AC}$
  2. $\overline{BM}=\overline{CM}$
  3. $\overline{AM}\text{ : 공통}$

$\therefore\; \angle{ABM}=\angle{ACM}$

Q.E.D.

이등변삼각형의 조건1

“두 밑각의 크기가 같다”는 사실이 이등변삼각형이 되는 조건이 될 수 있는지에 대해 증명해 봅시다.

  • 이등변삼각형의 조건: 두 밑각의 크기가 같다.
이등변삼각형의 조건 증명

[증명]

증명의 핵심은 $\angle{A}$의 이등분선과 $\overline{BC}$의 교점 $D$에 대하여 보조선 $\overline{AD}$를 그리는 것입니다.

  1. 중학교 1학년: 각의 이등분선(보조선)이 주어진 상태로 증명
  2. 중학교 2학년: 보조선이 주어지지 않은 상태에서 증명

$\triangle{ABM}\equiv\triangle{ACM}$ (ASA 합동)

  1. $\angle{BAD}=\angle{CAD}$
  2. $\angle{ADB}=\angle{ADC}$
  3. $\overline{AD}\text{ : 공통}$

$\therefore \; \overline{AB}=\overline{AC}$

Q.E.D.

이등변삼각형의 성질2

  • 꼭지각의 이등분선이 밑변을 수직이등분 한다.

[증명]

증명과정에서 중선과 각의 이등분선으로 만들어진 두 삼각형은 각각 합동이됩니다.

  1. 중선: $\triangle{ABM}\equiv\triangle{ACM}$ (SSS 합동)
  2. 각의 이등분선: $\triangle{ABD}\equiv\triangle{ACD}$ (SSS 합동)

따라서 다음이 성립합니다.

  1. 꼭지각의 이등분선은 밑변의 중점($M$)을 지난다.
  2. $\angle{ADB}=\angle{ADC}=90^\circ$

이등변삼각형에서 꼭지각의 이등분선이 밑변을 수직이등분 함을 알 수 있습니다.

이등변삼각형의 조건2

  • 꼭지각의 이등분선이 밑변을 수직이등분 한다.

[증명]

꼭지각의 이등분선과 밑변이 만나는 교점$D$에 대하여 다음이 성립합니다. (조건1 증명 그림 참고)

  • $\triangle{ABD}\equiv\triangle{ACD}$ (ASA 합동)
    1. $\angle{BAD}=\angle{CAD}$
    2. $\angle{ADB}=\angle{ADC}$
    3. $\overline{AD}\text{ : 공통}$

따라서 $\overline{BD}=\overline{CD}$이고 이등변삼각형이 됩니다.

    맺음말

    삼각형의 합동 조건과 이등변삼각형의 성질을 증명하는 과정을 통해 기하학의 논리적 사고를 깊이 이해할 수 있는 시간이 되었길 바랍니다. 수학적 지식은 처음부터 완벽하게 배우기 어려운 만큼, 학습 과정에서 부족한 논리를 증명을 통해 보완하는 자세를 가지는 것이 중요합니다. 이러한 과정은 수학적 사고력을 키우고, 더욱 엄밀한 수학적 이해를 돕는 데 큰 도움이 될 것입니다.