사다리꼴, 등변사다리꼴

• 사다리꼴: 한 쌍의 대변이 서로 평행한 사각형

예를 들어 사각형 $ABCD$에서 $\overline{AD} ⫽ \overline{BC}$이면 $ABCD$는 사다리꼴이다.

• 등변사다리꼴: 아랫변의 양 끝 밑각의 크기가 같은 사다리꼴

즉 $\square{ABCD}$에서 $\overline{AD} ⫽ \overline{BC}$이고 $\angle B=\angle C$인 경우를 의미합니다.

• 정사각형, 직사각형은 모두 등변사다리꼴에 포함됩니다.
• 주의: 평행사변형은 밑각의 크기가 다를 수 있어 등변사다리꼴이라 할 수 없습니다.

등변사다리꼴의 성질

1. 평행하지 않은 한 쌍의 대변(다리)의 길이가 같다: $\overline{AB}=\overline{CD}$.
2. 두 대각선의 길이가 같다: $\overline{AC}=\overline{BD}$.
3. 밑각과 윗각이 각각 같다: $\angle B=\angle C,\ \angle A=\angle D$.

[주의] 일반적으로 $\overline{AB}\ne\overline{BC}$, $\overline{CD}\ne\overline{DA}$이다. (등변사다리꼴에서 서로 이웃한 변의 길이가 같은 것은 아니다.)

설명

1) $\overline{AB}=\overline{CD}$의 증명

$\overline{AD}\parallel\overline{BC}$이고 $\angle B=\angle C$인 등변사다리꼴 $ABCD$에서, 점 $C$를 지나 $\overline{AB}$에 평행한 직선을 그어 $\overline{AD}$의 연장선과 만나는 점을 $E$라 하자. 그러면 $ABCE$는 평행사변형이므로 $\overline{AB}=\overline{CE}$이다. 또 $\angle DCE=\angle B$ (동위각), $\angle CDE=\angle C$이므로 $\angle DCE=\angle CDE$가 되어 $\triangle CDE$는 이등변삼각형이고 $\overline{CD}=\overline{CE}$이다. 따라서 $\overline{AB}=\overline{CE}=\overline{CD}$이므로 $\overline{AB}=\overline{CD}$.

2) $\overline{AC}=\overline{BD}$의 증명

$\triangle ABC$와 $\triangle DCB$를 보자. 위에서 보인 대로 $\overline{AB}=\overline{CD}$이고, $\overline{BC}$는 공통이며, $\angle B=\angle C$이다. 따라서 $S!A!S$ 합동에 의해 $\triangle ABC\cong\triangle DCB$, 곧 $\overline{AC}=\overline{BD}$이다.