2022년 3월 고1 모의고사 수학 객관식 19, 20, 21번 문제 풀이

$\angle{ABC}=\angle{ACB} \; (\because\;\overline{AB}=\overline{AC})$
$\angle{ACB}=\angle{AEB}\;(\because\;원주각)$
$\angle{AED}=\angle{ADE}\;(\because\;\angle{AED}+\angle{ADB}=180^{\circ})$
$\angle{ADE}=\angle{BDC}\;\because\;맞꼭지각)$
$\triangle{ABC}\sim\triangle{BCD}\sim\triangle{ADE}$

$\overline{BC}=x$라 하면.
$\overline{AE}=2x,\;\overline{DE}=2\;(\because\;\triangle{DBC}\sim\triangle{DAE})$
$\overline{AD}=\overline{AE}=2x,\;\overline{AB}=2x+1$
$2x+1:x=2x:2\;(\because\;\triangle{ABC}\sim\triangle{ADE})$
$2x^2=2(2x+1)$
$x^2-2x-1=0$
$x=+1\pm\sqrt{2}$
$\therefore\;x=+1+\sqrt{2}\;(\because\;x>0)$

$y=ax^2+bx$은
$x$축과 $(0,0)\;(6,0)$ 만난다.
$y=ax^2+bx=ax(x-6)\;\;\tag{1}$
$[A좌표]\;:\; x=3\; 일때 \; y=3a(3-6)\;\Rightarrow\; (3,-9a)$

$\triangle{ABO}$넓이
$\dfrac{1}{2}\overline{AO}\times\overline{BH}=\dfrac{1}{2}\overline{BO}\times\overline{OP}$
$\dfrac{1}{2}\times2\times\sqrt{9-81a^2}=\dfrac{1}{2}\times\dfrac{10}{3}\times3$

$9+81a^2=25$
$a=\pm\dfrac{4}{9}\;\rightarrow\; a=-\dfrac{4}{9} \;\;(\because \;a<0)$

식(1) 에 $a=-\dfrac{4}{9}$ 대입
$-\dfrac{4}{9}x(x-6)=-\dfrac{4}{9}x^2+\dfrac{24}{9}$
$b=\dfrac{24}{9}$

$\therefore\;a+b=-\dfrac{4}{9}+\dfrac{24}{9}=\dfrac{20}{9}$

$F$ : $B$ 에서 $\overline{CD}$의 연장선에 내린 수선의 발
$\overline{BF}$//$\overline{AE}$ 이고
$\triangle{DAE}\sim\triangle{DBF}$이다.
$\overline {AD}:\overline{BD}=1:2$ 이므로
$\overline{AE}:\overline{BF}=1:2$ 이고 $\therefore\; \overline{BF}=8$

$\triangle{DBF}\sim\triangle{DAE}$이고 닮음비는 2:1이다.
$\overline{EF}=6\;(\because\; 피타고라스 정리)$ 이고
$\overline{DE}=6\times\dfrac{1}{3}=2\;(\because\;비례배분)$ 이다.

$\triangle{ADC}=\dfrac{1}{2}\times\overline{CD}\times \overline{AE}=\dfrac{1}{2}\times 12\times4=24$

$\triangle{BDC}=\dfrac{1}{2}\times\overline{CD}\times \overline{BF}=\dfrac{1}{2}\times 12\times8=48$

$\therefore\;\triangle{ABC}=72$