이번 시간에는 등식의 일종인 항등식과 방정식에 대해 학습하고 등식의 성질과 이항에 대해 정리해 보기로 하자.
개요
등식
- 등식 : 등호를 사용해 나타낸 식
등식과 관련된 용어에 대해 정리해 보기로 하자. 등호의 왼쪽을 좌변 오른쪽을 우변이라고하고 양쪽을 통틀어 양변이라고 한다.
$\begin{align}\bbox[#ffff00]{3x+4-x}&=\bbox[#94feff]{2x+4}\\
\bbox[#ffff00]{\text{좌변}} &+ \bbox[#94feff]{\text{우변}} \rightarrow \bbox[#ffc5fd]{\text{양변}}\end{align}$
등식에는 항등식과 방정식이 있고 둘을 구별하는 것은 수학을 학습하는데 매우 중요하다.
항등식
먼저 항등식의 정의를 살펴보면 다음과 같다.
- 항등식 : 미지수에 관계없이 항상 등호가 $\bbox[#ffff00]{\text{참}}$이 되는 등식
여기서 등식이 $\bbox[#ffff00]{\text{참}}$이 된다는 뜻은 다음과 같다.
- 등식이 $\bbox[#ffff00]{\text{참}}$이다
$=$ 등호가 성립한다.
$=$ 양변의 크기가 같다.
$3(x-2)+4\xrightarrow[=]{\text{분배법칙}} 3x-6+4\xrightarrow[=]{\text{결합법칙}}3x-2$
위의 식에 사용된 등호는 미지수의 값에 관계없이 성립하는 등호이고 $\bbox[#ffff00]{\text{항등식의 등호}}$이다. 항등식의 등호는 결합, 교환 분배 법칙등을 사용해 식을 정리하는 과정에 사용한다.
방정식
- 방정식 : 미지수에 따라 등호가 $\bbox[#ffff00]{\text{참}}$ 또는 $\bbox[#94feff]{\text{거짓}}$이 되는 등식
여기서 등식이 거짓이 된다는 뜻은 다음과 같다.
- 등식이 $\bbox[#94feff]{\text{거짓}}$ 이다
$=$ 등호가 성립하지 않는다.
$=$ 양변의 크기가 다르다.
수학에서는 $\bbox[#94feff]{\text{거짓}}$이 될 수 있는 식을 함부로 사용해서는 안된다. 따라서$\bbox[#94feff]{\text{방정식의 등호}}$는 다음과 같은 상황에서만 사용한다.
- 문제의 상황이 방정식으로 주어진 경우
- 문제로 주어진 방정식
- 주어진 방정식을 변형한 방정식
다시 강조하지만 위의 경우에만 $\bbox[#94feff]{\text{방정식}}$을 사용할 수 있다.
방정식 용어 정리
이제 방정식의 $x+2\bbox[#94feff]{=}4
$를 통해 방정식에 관련된 용어를 정리해 보자.
$x+2\bbox[#94feff]{=}4
\begin{cases}x=2\;\text{일 때 : }\bbox[#ffff00]{\text{참}} \\[1em]
x\neq2\;\text{일 때 : }\bbox[#94feff]{\text{거짓}}\end{cases}$
- 방정식의 해(근) : 방정식이 ‘$\bbox[#ffff00]{\text{참}}$’이되게 하는 미지수의 값($x=2$)
- 방정식을 푼다 : 방정식의 해를 $\bbox[#ffc5fd]{\text{모두}}$ 구한다.
다음 예를 통해 ‘방정식을 푼다’라는 용어를 다시 정리해보자.
[문제] 연필과 지우개를 각 각 $x. y$개 구매한 후에 전체 개수를 세어 보니 3개 였다. 연필과 지우개를 한 개 이상 구매 하였다고 할 때 $x, \;y$를 구하는 방정식을 세우고 방정식을 풀어라.
[풀이]
연필의 개수를 $x$, 지우개 개수를 $y$라고 두고 주어진 상황을 방정식으로 나타내면 다음과 같다.
$x+y=3 \; (\text{조건: }x\geq1, \; y\geq1)$
이제 위의 $\bbox[#ffc5fd]{\text{방정식을 풀자}}$ .
위의 방정식을 풀면 “$x=1\; \text{일 때 }y=2$” 가 해(근) 임을 알 수 있다. 그렇다면 $x=1,\; y=2$가 정답일까? 결론부터 말하면 정답이 아니다.
$\bbox[#ffc5fd]{\text{방정식을 푼다}}$”라는 의미는 해를 $\bbox[#ffc5fd]{\text{모두}}$구하는 것을 의미하므로 아래와 같이 $\bbox[#ffc5fd]{\text{모든 해}}$를 구해야 정답이다.
$x+y=3 \begin{cases} x=1\; \text{일 때 }y=2\\[1em]
x=2\; \text{일 때 }y=1\end{cases}$
등식의 등호사용법
항등식과 방정식에서 등호를 사용하는 방법이 다르고 이를 반드시 지켜야 한다. 아래의 예를 통해 등호 사용법을 정확히 이해하도록 하자.
$3(x-2)+4\bbox[#94feff]{=}7$이라는 방정식을 간단히 하는 과정을 통해 등호의 사용에 대해 학습해 보자.
$\text{등호 표현}\begin{cases}\bbox[#ffff00]{\text{항등식 등호}}\\[1em]
\bbox[#94feff]{\text{방정식 등호}}\end{cases}$
$3(x-2)+4\bbox[#ffff00]{=} 3x-6+4\bbox[#ffff00]{=}3x-2\bbox[#94feff]{=}7$
위의 식에서 마지막 등호는 잘못 사용되었다. 그 이유에 대해 알아보자.
항등식의 등호는 연속하여 연결하여 사용할 수 있다. 하지만 방정식의 등호는 하나의 식에 한번만 사용해야 한다. 따라서 위의 식은 아래와 같이 정리하는 것이 바른 표현이다.
$3(x-2)+4\bbox[#ffff00]{=} 3x-6+4\bbox[#ffff00]{=}3x-2$
$3x-2\bbox[#94feff]{=}7$
이를 정리하면 다음과 같다.
$\text{등호}\begin{cases}\bbox[#ffff00]{\text{항등식 등호}}:\text{연속 사용 가능}\\[1em]
\bbox[#94feff]{\text{방정식 등호}}:\;\text{단독 사용}\end{cases}$
등식의 성질
이번에는 등식의 성질을 이용해 방정식을 푸는 방법에 대해 살펴보자.
등식의 좌변과 우변을 각 각 $\bbox[#ffff00]{\square},\;\bbox[#ffff00]{\triangle}$로 두면 등식은 다음과 같이 표현 할 수 있다.
- $\bbox[#ffff00]{\square} \overset{\underset{\mathrm{\text{크기 같다}}}{}}{=}\bbox[#ffff00]{\triangle}$
위의 등식에서 좌변과 우변의 크기가 같으면 $\bbox[#ffc5fd]{\text{양변}}$에 같은 수(식) $\bigstar$을 더하거나, 뺴거나, 곱하거나, 나눈 결과에서도 등식은 성립한다.
- $\bbox[#ffff00]{\square} + \bigstar\overset{\underset{\mathrm{\text{크기 같다}}}{}}{=}\bbox[#ffff00]{\triangle} + \bigstar $
- $\bbox[#ffff00]{\square} \,-\, \bigstar \overset{\underset{\mathrm{\text{크기 같다}}}{}}{=}\bbox[#ffff00]{\triangle} \,-\, \bigstar$
- $\bbox[#ffff00]{\square} \times \bigstar \overset{\underset{\mathrm{\text{크기 같다}}}{}}{=}\bbox[#ffff00]{\triangle} \times \bigstar$
- $\bbox[#ffff00]{\square} \div \bigstar \overset{\underset{\mathrm{\text{크기 같다}}}{}}{=}\bbox[#ffff00]{\triangle} \div \bigstar $ (단, $\bigstar\neq0$)
위의 사실은 음영으로 표기된 부분 끼리 크기가 같기 때문에 당연한 사실로 받아 들일 수 있다. (나눗셈 에서 0으로 나누는 상황은 무한대가 되므로 제외한다.)
등식의 성질과 방정식의 풀이
등식의 성질을 이용하여 방정식을 풀이하는 방법을 두 가지 예를 들어 살펴보자.
등식의 성질 1, 3 적용
$\bbox[#ffff00]{\dfrac{1}{2}x-1}\overset{\underset{\mathrm{\text{방정식}}}{}}{=}\bbox[#ffff00]{3}$을 풀어보자.
$\begin{align}\bbox[#ffff00]{\dfrac{1}{2}x-1}\overset{\underset{\mathrm{\text{방정식}}}{}}{=}&\bbox[#ffff00]{3}\cdots(1)\\
\bbox[#ffff00]{\dfrac{1}{2}x-1}+1\overset{\underset{\mathrm{\text{방정식}}}{}}{=}&\bbox[#ffff00]{3}+1\cdots(2) \text{(등식의 성질1)}\\
\dfrac{1}{2}x\overset{\underset{\mathrm{\text{방정식}}}{}}{=}&3+1\cdots(3)\end{align}$
$x=\square$가 (1)의 해 이면 음영 부분이 같게 된다. 따라서 $x=\square$는 (2)의 등호도 만족시키는 해가 된다. 이를 정리하면 다음과 같다.
- 등식의 성질을 이용해 방정식을 변형해도 해는 그대로 계승된다.
(3)의 방정식을 정리한 방정식(4)에 등식의 성질3을 적용해 보면 다음과 같다.
$\begin{align}\dfrac{1}{2}x\overset{\underset{\mathrm{\text{방정식}}}{}}{=}&4\cdots(4)\\
\bbox[#94feff]{\dfrac{1}{2}}x \times \bbox[#ffff00]{2}\overset{\underset{\mathrm{\text{방정식}}}{}}{=}&4\times\bbox[#ffff00]{2}\cdots(5)\text{(등식의 성질3)}\\
\therefore \; x=&8\cdots(6)\end{align}$
(4)의 방정식을 변형하여 $1x=\text{수}$ 형태로 정리하기 위해 $x$의 계수$\bbox[#ffff00]{\dfrac{1}{2}\text{의 역수 2}}$를 양변에 곱해주면 위와 같은 풀이를 얻을 수 있다.
등식의 성질 2, 4
이번에는 $\bbox[#ffff00]{2x+3}\overset{\underset{\mathrm{\text{방정식}}}{}}{=}\bbox[#ffff00]{5}$을 등식의 성질 2, 4를 이용해 풀어보자.
$\begin{align}\bbox[#ffff00]{2x+3}\overset{\underset{\mathrm{\text{방정식}}}{}}{=}&\bbox[#ffff00]{5}\cdots(1)\\[1em]
\bbox[#ffff00]{2x+3}-3\overset{\underset{\mathrm{\text{방정식}}}{}}{=}&\bbox[#ffff00]{5}-3\cdots(2) \text{(등식의 성질2)}\\[1em]
2x\overset{\underset{\mathrm{\text{방정식}}}{}}{=}&5-3\cdots(3)\\[1em]
2x\overset{\underset{\mathrm{\text{방정식}}}{}}{=}&2\cdots(4)\\[1em]
2x \div \bbox[#ffff00]{2}\overset{\underset{\mathrm{\text{방정식}}}{}}{=}&2\div\bbox[#ffff00]{2}\cdots(5)\text{(등식의 성질4)}\\[1em]
\therefore \; x=&1\cdots(6)\end{align}$
등식의 성질 3, 4 관계
방정식(5)에서 양변을 동일한 수로 나누는 과정(등식의 성질4)을 역수를 곱하는 것(등식의 성질3)으로 생각하면 아래와 같이 나눗셈대신 곱셈으로 답을 계산할 수 있다.
- $2x \bbox[#ffff00]{\div 2}\overset{\underset{\mathrm{\text{방정식}}}{}}{=}2\bbox[#ffff00]{\div2}\;\;\text{(등식의 성질4)}$
- $2x \bbox[#dcff8c]{\times \dfrac{1}{2}}\overset{\underset{\mathrm{\text{방정식}}}{}}{=}2 \bbox[#dcff8c]{\times\dfrac{1}{2}}\;\;\text{(등식의 성질3)}$
나눗셈과 달리 곱셈은 교환 결합이 가능하므로 계산에 훨씬 유리하다.
이항
방정식의 항 이나 식을 좌변$\rightarrow$우변, 우변$\rightarrow$좌변으로 이동할 때 부호를 반대로 바꾸면 등식이 성립한다. 이 과정을 “항을 옮긴다”는 의미로 ‘$\bbox[#ffff00]{\text{이항}}$’ 이라 한다. 수식을 변형하는 과정에서 항을 옮기는 것은 당연해 보이지 않는다.
어떤 이유에서 이항이 성립하는지에 대해 알아보기 위해등식의 성질 1, 3을 적용해 정리한 식을 각 각 다시 살펴보자.
등식의 성질 1과 이항
$\begin{align}\dfrac{1}{2}x\bbox[#ffff00]{-1}=&3\cdots(1)\\
\dfrac{1}{2}x-1+1=&3+1\cdots(2) \text{(등식의 성질1)}\\
\dfrac{1}{2}x=&3\bbox[#94feff]{+1}\cdots(3)\end{align}$
(1)에서 좌변의 $\bbox[#ffff00]{-1}$을 제거하기 위해 양변에 $\bbox[#94feff]{+1}$을 더하는 과정에서, 좌변의 $\bbox[#ffff00]{-1}$은 사라지고 우변에 $\bbox[#94feff]{+1}$만 남게 되고 이러한 이유에 의해 이항이 성립하게 된다.
등식의 성질 2과 이항
이제 등식의 성질 2를 적용한 문제에서 살펴보자.
$\begin{align}2x\bbox[#ffff00]{+3}=&5\cdots(1)\\[1em]
2x+3-3=&5-3\cdots(2) \text{(등식의 성질2)}\\[1em]
2x=&5\bbox[#94feff]{-3}\cdots(3)\end{align}$
(1)에서 좌변의 $\bbox[#ffff00]{+3}$을 제거하기 위해 양변에 $\bbox[#94feff]{3}$을 빼는 과정에서, 좌변의 $\bbox[#ffff00]{+3}$은 사라지고 우변에 $\bbox[#94feff]{-3}$만 남게 되고 이러한 이유에 의해 이항이 성립하게 된다.
이항의 본질
이항에 대해 더 명확히 할 필요가 있다. 이항은 등식의 성질을 조금 더 편하게 수행하기 위한 공식의 개념이다. 이항만 암기하고 방정식을 풀이하는 것은 공식을 암기하여 수학문제를 해결하는 것과 같다. 등식의 성질을 여러번 수행하여 자연스럽게 이항의 개념이 암기될 수 있도록 학습하길 바란다.
방정식의 풀이와 해의 관계(심화)
다음에서 방정식(1)과 (2)의 해의 관계에 대해 생각해 보자.
$\begin{align}\bbox[#ffff00]{2x-1}\overset{\underset{\mathrm{\text{방정식}}}{}}{=}&\bbox[#ffff00]{3}\cdots(1)\\
\bbox[#ffff00]{2x-1}+1\overset{\underset{\mathrm{\text{방정식}}}{}}{=}&\bbox[#ffff00]{3}+1\cdots(2)\end{align}$
- (1)이 $x=\square$을 해로 갖는다고 하면,
- (2)도 $x=\square$를 해로 갖는다. (음영부분 등호성립)
따라서 등식의 성질을 이용해 새로 만든 방정식(2)는 기존의 방정식(1)의 해를 갖는 방정식이다. 이는 방정식(2)의 해를 모두 구하면 방정식 (1)의 해가 포함되어 있음을 의미한다.
변형된 방정식을 풀이하는 것은 주어진 방정식과 다른 방정식을 풀이하는 것이다. 변형된 방정식은 주어진 방정식의 해로 부적절한 해를 가질 수 있으므로 검토 과정이 필요하다. 하지만 중학교 수학에서는 크게 문제가 되지 않는다.
- $\bbox[#ffff00]{\text{주어진 방정식}}\xrightarrow[\text{등식의 성질}]{}\bbox[#dcff8c]{\text{변형된 방정식}}$
- $\bbox[#dcff8c]{\text{변형된 방정식}}$ 풀이 : 해를 모두 구한다
- 해를 주어진 방정식에 대입하여 참인지 확인
세 번째 과정은 고등학교 수식을 다루는 과정에 응용되기 때문에 정확히 이해하고 넘어갈 필요가 있다.
이상으로 항등식 방정식 등식의 성질 이항에 대한 학습을 마무리 하도록 하겠다.