이번시간에는 소인수분해를 이용해 최소공배수를 구하는 방법에 대해 학습해 보기로 하자.
개요
공배수와 최소공배수
먼저 초등학교에서 배운 공배수와 최소공배수에 대해 복습하고 소인수분해를 이용해 최소공배수를 구하는 방법에 대해 정리해 보기로 하자.
정의
- 공배수: 두 개 이상의 자연수의 공통인 배수
- 최소공배수: 공배수 중에서 가장 작은 배수
성질
- 공배수는 최소공배수의 배수이다.
- 서로소인 두 수의 최소공배수: 두 수의 곱
위의 성질은 간단한 검증을 통해 받아들이기로 하자.
성질 검증
예를 통해 성질을 확인하고 넘어가기로 하자.
12와 30의 최소공배수
두 수의 최소공배수를 구하기 위해 배수를 나열하고 공배수를 구하면 다음과 같다.
- $12$의 배수
$12,24,36,48,\bbox[#ffff00]{60}.72,84,96,108,\bbox[#ffff00]{120},132,\cdots$ - $30$의 배수
$30,\bbox[#ffff00]{60},90,\bbox[#ffff00]{120},150,\cdots$
공배수중에서 가장 작은 최소공배수를 찾아 정리하면 다음과 같다.
- $12$와 $30$의 공배수: $\bbox[#ffff00]{60},\bbox[#ffff00]{120},\cdots$
- $12$와 $30$의 최소공배수: $\bbox[#ffff00]{60}$
직관적으로 공배수는 최소공배수의 배수가 됨을 알 수 있다.
3과 4의 최소공배수
두 수가 서로소인 경우 최소공배수는 어떻게 되는지 살펴보기로 하자.
- 3의 배수: $3,6,9,\bbox[#ffff00]{12},15,18,21,\bbox[#ffff00]{24},27\cdots$
- 4의 배수: $4,8,\bbox[#ffff00]{12},16,20,\bbox[#ffff00]{24},28,\cdots$
위와 같이 두 수의 배수를 나열하여 최소공배수를 구하면 다음과 같다.
- 3과 4의 공배수: $\bbox[#ffff00]{12},\bbox[#ffff00]{24},\cdots$
- 3과 4의 최소공배수: $\bbox[#ffff00]{12}$
서로소인 3과 4의 최소공배수를 구하면 두 수를 곱한 결과와 같다. 이로 부터 알 수 있는 사실을 정리하면 다음과 같다.
- 서로소인 두 수의 최소공배수는 두 수의 곱과 같다.
서로소인 두 수의 최대공약수와 최소공배수
여기서 두 자연수가 서로소일 때 최대공약수와 최소공배수에 대해 간단히 정리하고 다음으로 넘어가자.
- 최대공약수 : $1$
- 최소공배수: 두 자연수의 곱
최소공배수를 구하는 방법
나눗셈을 이용하는 방법 (초등학교)
두 수의 최소공배수
- 두 몫이 $\bbox[#94feff]{\text{서로소}}$가 될 때까지 $1$이 아닌 $\bbox[yellow]{\text{공약수}}$로 나눈다
- 최소공배수: 공약수와 몫을 모두 곱한 수
이를 이용해 $12,30$의 최소공배수를 구해보자.
$\begin{aligned}
\bbox[yellow]{2} \: \underline{)\;12\qquad30}\\
\bbox[yellow]{3} \: \underline{)\;\;\;6\qquad15}\\
\bbox[#94feff]{2}\qquad\;\;\bbox[#94feff]{5}
\end{aligned}$
($\bbox[#94feff]{2},\bbox[#94feff]{5}$)는서로소 이므로
$12,30$의 최소공배수 : $\bbox[yellow]{2} \times \bbox[yellow]{3}\times \bbox[#94feff]{2}\times\bbox[#94feff]{5}=60$
세 수의 최소공배수
- 셋 중에 $\bbox[#ffc5fd]{\text{두 몫이 항상}}$ $\bbox[#94feff]{\text{서로소}}$가 될 때까지 $1$이 아닌 $\bbox[yellow]{\text{공약수}}$로 나눈다
- 최소공배수: 공약수와 몫을 모두 곱한 수
이를 이용해 $18,30,36$의 최소공배수를 구해보자.
$\begin{aligned} \bbox[#ffff00]{2} \: \underline{)\:\bbox[#ffff00]{18}\qquad\bbox[#ffff00]{30}\qquad\bbox[#ffff00]{36}\:}\\
\bbox[#dcff8c]{3} \: \underline{)\;\;\:\bbox[#dcff8c]{9}\qquad\bbox[#dcff8c]{15}\qquad\bbox[#dcff8c]{18}\:}\\
\bbox[#ffc5fd]{3}\: \underline{)\;\:\:\bbox[#ffc5fd]{3}\qquad\;\;\bbox[#94feff]{5}\;\;\qquad\bbox[#ffc5fd]{6}\:}\\
\;\:\:\bbox[#94feff]{1}\qquad\;\;\bbox[#94feff]{5}\qquad\;\;\bbox[#94feff]{2}\:
\end{aligned}$
$\bbox[#ffc5fd]{3},\bbox[#94feff]{5},\bbox[#ffc5fd]{6}$에서 $3,6$은 서로소가 아니다 따라서 $3$으로 나누는 과정을 한 번더 수행한다.
$\bbox[#94feff]{1},\bbox[#94feff]{5},\bbox[#94feff]{2}$는 $\bbox[#ffc5fd]{\text{서로 서로 서로소 이다.}}$
$24,36,60$의 최소공배수 : $\bbox[#ffff00]{2}\times \bbox[#dcff8c]{3}\times \bbox[#ffc5fd]{3}\times\bbox[#94feff]{1}\times\bbox[#94feff]{5}\times\bbox[#94feff]{2}=180$
소인수분해를 이용하는 방법(중학교)
공배수를 이용해 최소공배수를 구하는 과정에 대해 생각해 보자.
두 수의 최소공배수 구하기
최소공배수를 구하는 과정을 더 직관적으로 수행하기 위해 각 수를 소인수분해하고 줄을 맞춰 정리해 보자.
$\begin{align}
12=&\bbox[#ffff00]{2}\;\times\;\bbox[#dcff8c]{2}\;\times\;\bbox[#ffff00]{3}\\
30=&\bbox[#ffff00]{2}\qquad\;\;\times\;\bbox[#ffff00]{3}\;\times\;\bbox[#dcff8c]{5}\\
\hline
&\bbox[#ffff00]{2}\;\times\;\bbox[#dcff8c]{2}\;\times\;\bbox[#ffff00]{3}\;\times\;\bbox[#dcff8c]{5}\\
\end{align}$
$\therefore$ 최소공배수 : $2\times2\times3\times5$
두 수의 최소공배수가 가지고 있어야 하는 최소한의 인수는 공통인수($\bbox[#ffff00]{2},\bbox[#ffff00]{3})$와 $\bbox[#dcff8c]{2},\bbox[#dcff8c]{5}$이다. 따라서 한중복되지 않도록 한 줄씩 내려서 계산하면 $\bbox[#ffff00]{2}\;\times\;\bbox[#dcff8c]{2}\;\times\;\bbox[#ffff00]{3}\;\times\;\bbox[#dcff8c]{5}$이 최소공배수임을 알 수 있다.
세 수의 최소공배수 구하기
비슷한 방법으로 $18,30,36$의 최소공배수를 구해보자.
$\begin{align}
18=&\bbox[#ffff00]{2}\;\qquad\;\times\;\bbox[#ffff00]{3}\;\times\;\bbox[#dcff8c]{3}\\
30=&\bbox[#ffff00]{2}\;\qquad\;\times\;\bbox[#ffff00]{3}\;\qquad\;\times\;\bbox[#dcff8c]{5}\\
36=&\bbox[#ffff00]{2}\;\times\;\bbox[#dcff8c]{2}\;\times\;\bbox[#ffff00]{3}\;\times\;\bbox[#dcff8c]{3}\\
\hline
&\bbox[#ffff00]{2}\;\times\;\bbox[#dcff8c]{2}\;\times\;\bbox[#ffff00]{3}\;\times\;\bbox[#dcff8c]{3}\;\times\;\bbox[#dcff8c]{5}\\
\end{align}$
$\therefore$ 최소공배수 : $2\times2\times3\times3\times5$
여기서도 최소공배수는 인수를 빠짐 없이 가지고 있어야 하므로 $\bbox[#ffff00]{2}\;\times\;\bbox[#dcff8c]{2}\;\times\;\bbox[#ffff00]{3}\;\times\;\bbox[#dcff8c]{3}\;\times\;\bbox[#dcff8c]{5}$이 최소공배수가 된다.
거듭제곱을 이용한 최소공배수 구하기
이제 위의 결과를 거듭제곱을 이용해 소인수분해로 나타내고 규칙성을 찾아 정리해 보자.
$\begin{align}
18=&\bbox[#dcff8c]{2}^1\;\times\;\bbox[#dcff8c]{3}^\bbox[#ffc5fd]{2}\\
30=&\bbox[#dcff8c]{2}^1\;\times\;\bbox[#dcff8c]{3}^1\;\times\;\bbox[#dcff8c]{5}^\bbox[#ffc5fd]{1}\\
36=&\bbox[#dcff8c]{2}^\bbox[#ffc5fd]{2}\;\times\;\bbox[#dcff8c]{3}^\bbox[#ffc5fd]{2}\\
\hline
&\bbox[#dcff8c]{2}^\bbox[#ffc5fd]{2}\;\times\;\bbox[#dcff8c]{3}^\bbox[#ffc5fd]{2}\;\times\;\bbox[#dcff8c]{5}^\bbox[#ffc5fd]{1}
\end{align}$
$\therefore$ 최소공배수 : $2^2\times3^2\times5$
공배수와 최소공배수 구하기
소인수 분해를 이용해 최소공배수와 공배수를 구하는 방법은 다음과 같다.
- 주어진 수를 소인수 분해 한다.
- 최소공배수: $\bbox[#dcff8c]{\text{모든 소인수}}^\bbox[#ffc5fd]{\text{최대지수}}$의 곱
- 공배수: 최소공배수의 배수
이상으로 소인수분해를 이용해 최소공배수와 공배수를 구하는 방법에 대한 설명을 마무리 하도록 하겠습니다.