직선 반직선 선분 중점 맞꼭지각 문제 정리

직선 반직선 선분 중점 맞꼭지각 문제 정리

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이번시간에는 기본 도형과 관련된 문제를 풀어보기로 하자. 기본도형과 직선 반직선 선분 개념을 적용하여 해결할 수 있는 문제를 먼저 다루고 중점과 맞꼭지각 문제를 다루었습니다. 문제를 해결하면서 자신감을 키우길 바랍니다.

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기본도형 문제

  1. 선과 선이 만나면 교선이 생긴다.
  2. 면과 면이 만나서 생기는 교선은 직선이다.
  3. 서로 다른 두 점을 지나는 직선은 유일하다.
  4. 서로 다른 세 점을 지나는 평면은 유일하다.

[정답]

  1. F
    • 선과 선이 만나면 교점이 생긴다.
  2. F
    • 원뿔을 평면으로 자르면 교선은 곡선이다.
  3. T
  4. F
    • 일직선 상의 서로다른 세 점을 지나는 평면은 무수히 많다.

직선 반직선 선분

직선 반직선 선분 정의 문제

한 직선 위 의 네 점 $A,\;B,\;C,\;D$ 에 대하여 다음 중 옳지 않은 것을 찾고 이유를 서술하여라.

직선 반직선 선분 정의 문제
직선 반직선 선분 정의 문제
  1. $\overleftrightarrow{AB}=\overleftrightarrow{DC}$
  2. $\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{DA}$
  3. $\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{BD}$
  4. $\overrightarrow{AD}$와 $\overrightarrow{CB}$의 공통 부분은 $\overline{BC}$이다.
  5. $\overline{AC}$와 $\overline{CD}$의 공통부분은 없다.

[정답]

  1. T
  2. F
    • $\overrightarrow{AD}$는 오른쪽 $\overrightarrow{DA}$는 왼쪽으로 무한이 뻗어가는 반직선
  3. T
    • 시작점($B$)이 일치하고 방향이 같음.
  4. F
    • 반직선을 그리면 겹치는 부분은 $\overline{AC}$이다.
  5. F
    • 선분은 양 끝점을 포함하고 있으므로 겹치는 부분은 점$C$이다.

직선과 반직선의 개수 문제

문제1

반원 위의 6개의 점에 대하여 두 점을 이어 만들 수 있는 서로 다른 직선의 개수를 $x$, 반직선의 개수를 $y$라고 할 때 $x+y$값을 구하여라.

직선과 반직선의 개수 문제

[풀이]

직선의 개수($x$)

네 점을 지나는 직선

A,B,C,D를 지나는 직선: $\bbox[#ffff00]{1}$개

두 점을 지나는 직선

$\begin{cases}
A\text{를 지나는 직선}:\;\overleftrightarrow{AE},\;\overleftrightarrow{AF}\cdots\bbox[#dcff8c]{2} \\[1em]
B\text{를 지나는 직선}:\;\overleftrightarrow{BE},\;\overleftrightarrow{BF}\cdots\bbox[#dcff8c]{2}\\[1em]
C\text{를 지나는 직선}:\;\overleftrightarrow{CE},\;\overleftrightarrow{CF}\cdots\bbox[#dcff8c]{2}\\[1em]
D\text{를 지나는 직선}:\;\overleftrightarrow{DE},\;\overleftrightarrow{DF}\cdots\bbox[#dcff8c]{2}\\[1em]
E\text{를 지나는 직선}:\;\overleftrightarrow{EF}\cdots\bbox[#dcff8c]{1}\\[1em]
\end{cases}$

따라서 $x=\bbox[#ffff00]{1}+\bbox[#dcff8c]{2\times 4+1}=10$이다.

반직선의 개수($y$)

네 점 $A,B,C,D$를 지나는 직선의 일부인 반직선의 개수는 다음과 같이 구할 수 있다.

시작점$\begin{cases} A\;:\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AD}\cdots\bbox[#ffff00]{1}\\[1em]
B\;:\overrightarrow{BA},\;\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{BD}\cdots \bbox[#ffff00]{2}\\[1em]
C\;:\overrightarrow{CA}=\overrightarrow{CB},\;\overrightarrow{CD}\cdots\bbox[#ffff00]{2}\\[1em]
D\;:\overrightarrow{DA}=\overrightarrow{DB}=\overrightarrow{DC}\cdots\bbox[#ffff00]{1}\\[1em]
\end{cases}$

  • $\bbox[#ffff00]{1+2+2+1}=6$

두 점을 지나는 직선 $\bbox[#dcff8c]{9}$개에 대한 반직선은 각각 2개씩 존재한다.

  • $\bbox[#dcff8c]{9\times2}=18$

따라서 $y=\bbox[#ffff00]{6}+\bbox[#dcff8c]{18}=24$이다.

$\therefore\; x+y=10+24=34$

문제2

그림과 같이 곡선과 직선으로 둘러 싸인 도형 위의 6개의 점에 대하여 두 점을 이어 만들 수 있는 서로 다른 직선의 개수를 $x$, 반직선의 개수를 $y$라고 할 때 $x+y$값을 구하여라.

직선과 반직선의 개수 문제2

[풀이]요약

직선의 개수($x$)

세 점을 지나는 직선

$\begin{cases} \text{A,B,C를 지나는 직선}\cdots \bbox[#ffff00]{1}\\[1em]
\text{C,D,E를 지나는 직선}\cdots \bbox[#ffff00]{1}\\[1em]
\end{cases}$

두 점만 지나는 직선

$\begin{cases} A\text{와} D, E, F \text{를 지나는 직선} \cdots \bbox[#dcff8c]{3}\\[1em]
B\text{와} D, E, F \text{를 지나는 직선} \cdots \bbox[#dcff8c]{3}\\[1em]
C\text{와} F \text{를 지나는 직선} \cdots \bbox[#dcff8c]{1}\\[1em]
D\text{와} F \text{를 지나는 직선} \cdots \bbox[#dcff8c]{1}\\[1em]
E\text{와} F \text{를 지나는 직선} \cdots \bbox[#dcff8c]{1}\\[1em]
\end{cases}$

  • $x=\bbox[#ffff00]{2}+\bbox[#dcff8c]{9}=11$

반직선의 개수

세 점 A,B,C를 지나는 직선의 일부인 반직선의 개수는 다음과 같이$\bbox[#ffff00]{4}$개이다.

시작점$\begin{cases} A\;:\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AC} \cdots\bbox[#ffff00]{1}\\[1em]
B\;:\overrightarrow{BA},\;\overrightarrow{BC}\cdots \bbox[#ffff00]{2}\\[1em]
C\;:\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{CA}\cdots \bbox[#ffff00]{1}\\[1em]
\end{cases}$

세 점 C,D,E를 지나는 직선의 일부인 반직선의 개수도 $\bbox[#ffff00]{4}$개이다.

두 점을 지나는 직선 $\bbox[#dcff8c]{9}$개는 반직선을 2개를 가지고 있다.

따라서 $y=\bbox[#ffff00]{4\times2}+\bbox[#dcff8c]{9\times2}=26$

$\therefore\; x+y=11+26=37$

맞꼭지각 문제(개수)

서로 다른 5개 직선이 한 점에서 만날 때 생기는 맞꼭지각은 몇 쌍인지 구하여라.

맞꼭지각의 개수 문제

[풀이]

서로 다른 $\bbox[#ffff00]{\text{두 직선}}$이 한 점에서 만날 때 $\bbox[#94feff]{\text{맞꼭지각은 두 쌍}}$ 만들어 진다.

  • $\bbox[#ffff00]{\text{두 직선을 선택할 수 있는 개수}}\times\bbox[#94feff]{2}$

먼저 5개 직선중 2개 직선을 선택하는 방법에 대해 정리해보면 다음과 같다.

(a,b), (a,c), (a,d), (a,e)
(b,c), (b,d), (b,e)
(c,d), (c,e)
(d,e)

$\bbox[#ffff00]{\text{10쌍}}$의 두 직선을 선택할 때마다 서로 다른 $\bbox[#94feff]{\text{두 쌍의 맞꼭지각}}$을 만들 수 있으므로

$\therefore\; \bbox[#ffff00]{10}\times\bbox[#94feff]{2}=20$쌍

중점과 비례 문제

다음 그림에서 세 점 $M, N, P$는 각각 $\overline{AB},\;\overline{MB},\;\overline{AN}$의 중점일 때 $\overline{AB}:\overline{PM}$를 구하여라.

중점과 비례식 문제1

[풀이]

비례식을 편하게 다루기 위해서 짧은 변을 문자로 두는것이 좋다. 여기서는 $\overline{AM}$보다 $\overline{MN}$을 문자로 두는 것이 식을 다루기 편리하다.

  • $\overline{MN}=x$로 두면
    • $\overline{NB}=x,\;\overline{AM}=\overline{MB}=2x$이고
  • $\overline{AN}=3x,\; \bbox[#dcff8c]{\overline{PN}}=\dfrac{3}{2}x$이다.

따라서 $\overline{PM}=\bbox[#dcff8c]{\overline{PN}}-\overline{MN}=\dfrac{1}{2}x$ 이다.

$\therefore\; \overline{AB}:\overline{PM}=4x:\dfrac{1}{2}x=8:1$

맞꼭지각과 비례 문제

문제1

그림에서 다음이 성립할 때 $\angle{COE}$의 크기를 구하여라

  • $5\angle{BOC}=3\angle{BOD}$
  • $3\angle{DOE}=2\angle{EOF}$
맞꼭지각 문제1

[풀이]

  1. $5\angle{BOC}=3\angle{BOD}$
    • $\angle{BOC}:\angle{BOD}=\dfrac{1}{5}:\dfrac{1}{3}=3:5$
  2. $3\angle{DOE}=2\angle{EOF}$
    • $\angle{DOE}:\angle{COD}=\dfrac{1}{3}:\dfrac{1}{2}=2:3$

자세한 설명은 아래의 비례식 변형식에 대한 설명을 참고하길 바란다.

맞꼭지각과 비례 문제 풀이
  • $\angle{COE}=2x+2y\;\cdots(1)$
  • $\angle{BOC}+\angle{EOF}=3x+3y\;\cdots(2)$

1.비례배분을 이용한 마무리

$(1)+(2):\;\angle{BOF}=150^\circ$이고 (1), (2)의 비는 2:3이다. 비례배분을 이용하면

$\therefore\; \angle{COE}=150^\circ\times\dfrac{2}{5}=60^\circ$

2.식변형을 이용한 마무리

$\angle{BOF}=5x+5y=5(x+y)=150^\circ$
$\rightarrow x+y=30^\circ$

$\therefore \; \angle{COE}=2x+2y=2(x+y)=60^\circ$

문제2

그림과 같이 한 점에서 만나는 $\overline{AB},\;\overline{CD},\;\overline{EF}$와 $\angle{a},\; \angle{b},\;\angle{c}$에 대하여 다음이 성립할 때 $\angle{AOD}$의 크기를 구하여라.

  • $6\angle{a}=3\angle{b}=2\angle{c}$
각과 비례 문제2

[풀이]

$6\angle{a}=3\angle{b}=2\angle{c}=x$에 대하여

$\angle{a}:\angle{b}:\angle{c}=\dfrac{1}{6}:\dfrac{1}{3}:\dfrac{1}{2}=1:2:3$

$a+b+c=180^\circ,\; a:b:c=1:2:3$이고 비례배분을 이용하면

  • $a=180^\circ\times \dfrac{1}{1+2+3}=30^\circ\\[1em]$
  • $b=180^\circ\times \dfrac{2}{1+2+3}=60^\circ\\[1em]$
  • $c=180^\circ\times \dfrac{3}{1+2+3}=90^\circ\\[1em]$

$\therefore\;\angle{AOD}=b+c=150^\circ$

보충이론 비례식

비례배분 (초등)

  • 비례배분 : 전체의 양을 주어진 비로 배분하는 것

예시) 사탕 40개를 두 명에게 3:5로 배분하여라.

  • 나누어 주는 량 : $3x, 5x$
  • 나누기 전 전체량 : $\bbox[#ffff00]{8x}$
  • 배분 비율 : $\dfrac{3x}{\bbox[#ffff00]{8x}}=\dfrac{3}{\bbox[#ffff00]{8}},\;\dfrac{5x}{\bbox[#ffff00]{8x}}=\dfrac{5}{\bbox[#ffff00]{8}}$
  • 배분 개수 : $\text{사탕개수}\times\text{배분 비율}$
    • $40\times\dfrac{3}{\bbox[#ffff00]{8}}=15$
    • $40\times\dfrac{5}{\bbox[#ffff00]{8}}=25$

예시) 사탕 48개를 세 명에게 2:3:7로 배분하여라.

2:3:7의 비로 배분할 때 전체량은 $2+3+7=12$의 비를 갖고 비율을 이용해 다음과 같이 계산할 수 있다.

  • $48\times\dfrac{2}{\bbox[#dcff8c]{12}}=8$
  • $48\times\dfrac{3}{\bbox[#dcff8c]{12}}=12$
  • $48\times\dfrac{7}{\bbox[#dcff8c]{12}}=28$

비례식의 변형식

[1] $2a=3b$일 때 a:b는 2,3의 역수의 비와 같다.

[설명]

$2a=3b=x$로 두면 $a:b=\dfrac{x}{2}:\dfrac{x}{3}=\dfrac{1}{2}:\dfrac{1}{3}$이다.

[2] $2a=3b=6c$일 때 a:b:c는 2,3,6의 역수의 비와 같다.

[설명]

$2a=3b=6c=x$로 두면 $a:b:c=\dfrac{x}{2}:\dfrac{x}{3}:\dfrac{x}{6}=\dfrac{1}{2}:\dfrac{1}{3}:\dfrac{1}{6}$이다.

맺음말

문제를 통해 직선 반직선 선분 맞꼭지각 중점에 대한 개념을 더 정확히 이해할 수 있었길 바랍니다.

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