거듭제곱과 지수법칙이 어렵게 느껴지나요? 같은 수를 여러 번 곱할 때 간단하게 표현하는 방법이 바로 지수법칙입니다. 중학교에서 배우는 지수가 자연수인 경우의 지수법칙을 쉽게 이해할 수 있도록 정리했습니다. 지수의 합, 곱, 차, 분배법칙까지 개념과 검증 과정을 자세히 설명하니 끝까지 읽고 확실하게 익혀보세요! 이 글을 다 읽고 나면 지수법칙이 더 이상 헷갈리지 않을 거예요.
개요
거듭제곱 정의
같은 수나 문자를 여러번 곱한 식을 다음과 같이 나타내고 $\color{red}{\text{거듭제곱}}$이라고 합니다.
$\overbrace{\color{blue}{a\times a\times\cdots\times a}}^{\color{red}{\text{n 번}}}=\begin{align}&\\[-2em] &\color{blue}{a}^{\color{red}{n\text{→지수}}}\\[-1em]
&\;\color{blue}{\text{⤷밑}}
\end{align}$
- $a^n$ : $a$의 $n$제곱
- 밑 : 거듭제곱에서 거듭하여 곱한 수 또는 문자($a$)
- 지수 : 거듭제곱에서 수 또는 문자가 곱해진 횟수($n$)
지수가 자연수인 지수법칙
유리수 $a,b$ 와 자연수 $m,n$에 대하여 다음이 성립하고 이를 지수법칙이라고 합니다. (중학교 2학년 기준)
중학교 3학년 부터는 실수 $a,b$와 자연수 $m,n$에 대한 지수법칙을 증명없이 받아들이게 됩니다.
지수의 합
- $a^m \times a^n=a^{m+n}$
[검증]
$a^m \times a^n=a^{m+n}$
$\begin{align}a^2 \times a^3=\{a \times a\} \times \{a \times a \times a\}=a^{2+3}\end{align}\\[1em]$
지수의 곱
- $(a^m) ^n=a^{mn}$
[검증]
$(a^2)^3=(a^2) \times (a^2) \times (a^2)=a^{2+2+2}=a^{2\times3}$
[증명]
\begin{flalign} (a^m)^n&=\overbrace{a^m \times a^m \times \cdots \times a^m}^{\text{n 번}}\\[1em]
&=a^{\overbrace{m+m+\cdots+m}^{\text{n번}}} &&\end{flalign}
지수의 차
- $a\neq0$ 일 때
$a^m \div a^n=\dfrac{a^m}{a^n}=
\begin{cases}
(m>n)\;a^{m-n}\; \cdots\; (1)\\[1em]
(m=n)\; 1\; \cdots\cdots\; (2)\\[1em]
(m<n)\; \dfrac{1}{a^{n-m}}\; \cdots\; (3)\\[1em]
\end{cases}\\[3em]$
[검증]
- $(1)\;a^3 \div a^2=\dfrac{a \times a \times a}{a \times a}=a^{3-2}\\[1em]$
- $(2)\;a^3 \div a^3=\dfrac{a \times a \times a}{a \times a \times a}=1\\[1em]$
- $(3)\;a^2 \div a^3=\dfrac{a \times a}{a \times a \times a}=\dfrac{1}{a^{3-2}}\\[2em]$
지수의 분배
- $(ab)^n=a^nb^n$
- $\left( \dfrac{b}{a} \right)^n=\dfrac{b^n}{a^n}$
[검증]
$\begin{align}&(ab)^3=(a \times b)\times (a \times b)\times (a \times b)\\[1em]
&=(a \cdot a \cdot a)\times(b \cdot b \cdot b)=a^3b^3\end{align}\\[3em]$
$\begin{align}\left(\dfrac{3}{2}\right)^3=\dfrac{3}{2} \times \dfrac{3}{2} \times \dfrac{3}{2}=\dfrac{3\times 3\times 3}{2\times 2\times 2}=\dfrac{3^3}{2^3}\end{align}\\[1em]$
[증명]
\begin{flalign} (ab)^n&=\underbrace{ab \times ab \times \cdots \times ab}_{\text{n개}}\\[1em]
&=\underbrace{a \times a \times \cdots \times a}_{\text{n개}}\times \underbrace{b \times b \times \cdots \times b}_{\text{n개}}\\[1em]
&=a^nb^n &&\end{flalign}
\begin{flalign} (\dfrac{a}{b})^n&= \overbrace{\dfrac{a}{b} \times \dfrac{a}{b} \times \cdots \times \dfrac{a}{b}}^{\text{n개}}\\[1em]
&=\dfrac{\overbrace{a \times a \times \cdots \times a}^{\text{n개}}}{\underbrace{b \times b \times \cdots \times b}_{\text{n개}}}\\[1em]
&=\dfrac{a^n}{b^n} &&\end{flalign}
음수의 거듭제곱
지수의 분배를 이용하면 음수의 거듭제곱을 다음과 같이 정리할 수 있습니다.
$(-\square)^{\text{짝수}}=(-1)^{\text{짝수}} \times \square^{\text{짝수}}=\square^{\text{짝수}}$
$(-\square)^{\text{홀수}}=(-1)^{\text{홀수}} \times \square^{\text{홀수}}=-\square^{\text{홀수}}$
중학교 지수법칙 정리
유리수 $a,b$ 와 자연수 $m,n$에 대하여 다음이 성립합니다.
- $a^m \times a^n=a^{m+n}$
- $a\neq0$ 일 때
$a^m \div a^n=\dfrac{a^m}{a^n}=
\begin{cases}
(m>n)\;a^{m-n}\; \cdots\; (1)\\[1em]
(m=n)\; 1\; \cdots\cdots\; (2)\\[1em]
(m<n)\; \dfrac{1}{a^{n-m}}\; \cdots\; (3)\\[1em]
\end{cases}\\[3em]$ - $(a^m) ^n=a^{mn}$
- $(ab)^n=a^nb^n$
- $\left( \dfrac{b}{a} \right)^n=\dfrac{b^n}{a^n}$
지수를 확장하는 과정은 다음을 참고해 주세요.
