정수와 유리수 수의 확장

이번 시간에는 증가와 감소, 이익과 손해와 같은 반대의 성질을 가지는 수치나 양을 $+,-$ 부호를 이용해 나타내고, 자연수와 분수를 정수와 유리수로 확장해 보기로 하자.

양의 부호와 음의 부호

증가와 감소, 영상과 영하, 이익과 손해와 같이 서로 반대되는 성질을 가지는 양, 크기 숫자로 나타내야 하는 상황이 있다. 이때 한 쪽을 $+$ 반대쪽을 $-$로 나타내기로 한다. 이 때 사용하는 부호를 각각 양의부호, 음의부호라 하고 ‘플러스’,’마이너스’로 읽는다.

• 양의부호 : $+3\rightarrow$ 영상 3도, 이익 3, 3 증가
• 음의부호 : $-3\rightarrow$ 영하 3도, 손해 3 , 3 감소

$\bbox[#dcff8c]{\text{숫자에 붙는 부호(+,-)}}$는
$\bbox[#ffff00]{\text{덧셈($+$)과 뺄셈($-$)의 연산기호}}$와는 다르다.

이제 양의 부호와 음의 부호를 이용해 자연수와 분수를 확장시켜보자.

자연수의 확장: 정수

$+(\text{자연수})$, $-(\text{자연수})$

기준이 되는 자연수를 $+(\text{자연수})$로, 어떤 자연수와 크기가 같고 성질이 반대되는 자연수를 $\rightarrow -\text{자연수}$로 표기하자.

$(\bbox[#ffc5fd]{+2})+(\bbox[#94feff]{-2})$와 같이 크기가 같고 성질이 반대되는 자연수를 더하면 아무것도 남지 않으며, 이를 $0$으로 표현 하기로 약속하자.

자연수에 $\bbox[#ffc5fd]{\text{양의부호}}$와 $\bbox[#94feff]{\text{음의부호}}$를 붙인 수와 ‘0’을 포함한 수를 ‘정수’라고 한다.

자연수에 양의부호를 붙인 수를 양의정수 음의부호를 붙인 수를 음의정수 라고하고, 양의정수에서 양의부호($+$)를 생략하여 쓰기도 한다.

$\text{정수}\begin{cases}
\bbox[#ffc5fd]{\text{양의 정수}} : +1,+2,+3,\cdots \rightarrow \text{자연수}\\[1em]
0\\[1em]
\bbox[#94feff]{\text{음의 정수}} : -1,-2,-3,\cdots\\
\end{cases}$

분수의 확장: 유리수

$+\dfrac{\text{자연수}}{\text{자연수}}$, $-\dfrac{\text{자연수}}{\text{자연수}}$

초등학교에서 분수인 $\dfrac{\text{자연수}}{\text{자연수}}$를 $+\dfrac{\text{자연수}}{\text{자연수}}$로, 이 분수와 크기가 같고 반대의 성질을 갖는 분수를 $-\dfrac{\text{자연수}}{\text{자연수}}$로 표기하자.

$(\bbox[#ffc5fd]{+\dfrac{3}{2}})+(\bbox[#94feff]{-\dfrac{3}{2}})$와 같이 크기가 같고 성질이 반대되는 분수를 더하면 아무것도 남지 않으며, 이를 $0$으로 표현 하기로 약속하자.

유리수의 정의

정수에서와 마찬가지로 수를 확장하면 다음과 같다.

초등분수 $\dfrac{\text{자연수}}{\text{자연수}}$에 양의부호($+$)와 음의부호($-$)를 붙인 수와 $0$을 포함해 ‘유리수’라고 한다.

유리수 중에서 양의 부호가 붙은 수를 양의 유리수라고 하고 음의부호가 붙은 수를 음의 유리수라 한다. 양의 유리수에서 양의 부호($+$)를 생략하여 쓰기도 한다.

• $\text{유리수}\begin{cases}
  \text{양의 유리수:} \bbox[#ffff00]{+\dfrac{\text{자연수}}{\text{자연수}}}\rightarrow +\dfrac{2}{3}, \dfrac{1}{5}\\[1em]
  0\\[1em]
  \text{음의 유리수:} \bbox[#ffc5fd]{-\dfrac{\text{자연수}}{\text{자연수}}}\rightarrow-\dfrac{3}{7},-\dfrac{7}{3}\\
  \end{cases}$

정수와 유리수의 관계

초등학교에서 분모가 1인 분수는 자연수임을 배웠다. 이를 양의부호와 음의부호까지 확장시켜 적용해 보면 다음과 같다.

$\dfrac{6}{2}=\dfrac{3}{1}=3$에서 처럼 초등학교에서 약분을 통해 분모가 1이 되는 분수는 자연수임을 학습하였다. 유리수에서도 이와 같은 규칙이 성립하고 이를적용하면 다음과 같은 결과를 얻을 수 있다.

• 양의정수
  $\bbox[#dcff8c]{+\text{자연수}}\rightarrow\bbox[#dcff8c]{+\dfrac{\text{자연수}}{1}}\rightarrow\text{양의유리수}$
• 음의정수
  $\bbox[#ffc5fd]{-\text{자연수}}\rightarrow\bbox[#ffc5fd]{-\dfrac{\text{자연수}}{1}}\rightarrow\text{음의유리수}$

따라서 정수를 이용해 유리수를 다음과 같이 분류할 수 있다.

• $\text{유리수}\begin{cases}
  \bbox[#ffff00]{\text {정수}}\begin{cases}
  \bbox[#dcff8c]{\text{양의 정수}}\\[1em]
  0\\[1em]
  \bbox[#ffc5fd]{\text{음의 정수}}\\
  \end{cases}\\[1em]
  \bbox[#94feff]{\text {정수가 아닌 유리수}}
  \end{cases}$

유리수 정의2

정수의 곱셈과 나눗셈을 학습한 다음에는 유리수를 다음과 같이 정리할 수 있다. (다음에 학습할 내용)

• 유리수 정의
  $\text{유리수}:\dfrac{\text{정수}}{\text{0이 아닌 정수}}$

분자와 분모에 들어갈 수 있는 정수를 표로 정리해서 두 정의를 비교하면 다음과 같다.

이상으로 중학교 1학년 수준에서 유리수에 대한 학습을 마무리 하겠다.

유리수를 소수를 이용해 분류하는 방법은 중학교 2학년 과정이다. 학습을 이어가려면 목차를 이용하거나 키워드 검색에 ‘순환소수’를 검색해 보길 바란다.