정수와 유리수의 사칙연산 생략 규칙 계산 순서

이번 시간에는 정수와 유리수의 사칙연산에 대해 정리하고, 생략 규칙을 학습한 다음 복잡한 식의 계산 순서에 대해 정리해 보기로 하자.

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사칙연산 정리

덧셈과 뺄셈

덧셈

$(\bbox[#ffff00]{\pm}\;\bbox[#ffce8a]{\triangle})+(\bbox[#ffff00]{\pm}\;\bbox[#ffce8a]{\square})=(\bbox[#ffff00]{\text{부호}})(\bbox[#ffce8a]{\text{숫자}})$

$\bbox[#ffff00]{\text{부호}}:\; \text{절댓값 큰 수 부호}$
$\bbox[#ffce8a]{\text{숫자}}\begin{cases}
\text{동일 부호}:\; \text{두 수의 합}\; \triangle+\square\\[1em]
\text{반대 부호}:\; \text{두 수의 차}\;\left|\triangle-\square\right|\\[1em]
\end{cases}$

뺄셈

뺄셈은 부호가 반대인 수의 덧셈으로 바꿀 수 있다.

$\triangle\bbox[#ffff00]{-}\bbox[#94feff]{(\square)}=\triangle\bbox[#ffff00]{+}\bbox[#94feff]{(-\square)}$
$\triangle\bbox[#ffff00]{-}\bbox[#94feff]{(-\square)}=\triangle\bbox[#ffff00]{+}\bbox[#94feff]{(+\square)}$

곱셈과 나눗셈

곱셈

$(\bbox[#ffff00]{\pm}\;\bbox[#ffce8a]{\triangle})\times(\bbox[#ffff00]{\pm}\;\bbox[#ffce8a]{\square})=(\bbox[#ffff00]{\text{부호}})(\bbox[#ffce8a]{\text{숫자}})$

$\bbox[#ffff00]{\text{부호}}\begin{cases}
\text{동일 부호}:\; \bbox[#ffc5fd]{+}\\[1em]
\text{반대 부호}:\; \bbox[#94feff]{-}\\[1em]
\end{cases}$
$\bbox[#ffce8a]{\text{숫자}}: \text{ 절댓값의 곱}\;\triangle\times\square$

나눗셈

초등학교에서 배운 분수의 나눗셈과 동일하게 역수를 이용해 곱셈으로 바꿀 수 있다.

$\begin{align}
&(\text{유리수})\div({\color{#0000ff}\text{유리수}})\\[1em]
&\;\;=(\text{유리수})\times({\color{#0000ff}\text{유리수의 }}{\color{#dc143c}\text{역수}})
\end{align}$

식의 생략 규칙

이제 식을 생략하여 표현하는 방법에 대해 살펴보자.

음수의 소괄호 생략

음수에 소괄호가 필요한 이유

뺄셈 연산기호와 음수의 $-$부호를 구분하기 위해 괄호를 사용한다.

음수의 소괄호를 생략하는 경우

음수의 앞쪽에 연산기호가 없으면 괄호를 생략할 수 있다.

$\bbox[#ffff00]{(-3)}+(-2)\rightarrow\bbox[#ffff00]{-3}+(-2)$
$\bbox[#ffff00]{(-3)}\times(-2)\rightarrow \bbox[#ffff00]{-3}\times(-2)$
$6\times\{\bbox[#ffff00]{(-3)}-(-2)\}\rightarrow 6\times\{\bbox[#ffff00]{-3}-(-2)\}$

$\bbox[#ffff00]{(-3)}$의 앞에는 연산기호가 없기 때문에 괄호 생략이 가능하다. 한편 $(-2)$의 앞쪽에 연산기호가 있기 때문에 괄호 생략 불가하다.

곱셈기호 생략

곱하는 두 수 중 하나의 수가 괄호로 구분된 경우 두 수 사이의 곱셈을 생략할 수 있다.

\begin{flalign}
(-2)\times\{3+(-1)\} &\xrightarrow[]{\text{곱셈 생략}}(-2)\{3+(-1)\}\\[1em]
&\xrightarrow[]{\text{괄호 생략}} -2\{3+(-1)\}
&&\end{flalign}

괄호로 구분된 수의 곱셈 생략
음수의 괄호생략 규칙

$-2\{3+(-1)\}$를 계산을 할 때는 생략된 기호를 다시 부활시켜 $(-2)\times\{3+(-1)\}$를 계산한다.

곱셈과 1의 생략

$\pm1$과 괄호로 구분된 수식 이 곱해진 경우 1과 곱셈을 생략할 수 있다.

$1\times\left(\dfrac{1}{3}+3\right)=\left(\dfrac{1}{3}+3\right)$
$-1\times\left(\dfrac{1}{3}+3\right)=-\left(\dfrac{1}{3}+3\right)$

특히 $-\left(\dfrac{1}{3}+3\right)$을 계산 할 때는 생략된 $-1$을 부활시켜 계산해야 한다.

복잡한 식의 계산 순서

연산법칙을 이용

뺄셈과 나눗셈은 연산법칙을 자유롭게 이용할 수 없지만, 덧셈과 곱셈은 연산법칙을 자유롭게 이용할 수 있다. 따라서 복잡한 식은 다음과 같이 계산한다.

$+,\;\bbox[#dcff8c]{-},\;\times\;\bbox[#dcff8c]{\div} \; \rightarrow\; +\; \times$ :교환, 결합, 분배

거듭제곱, 괄호 순서 계산

괄호와 거듭제곱의 계산순서는 다음과 같다.

거듭제곱을 먼저 계산
$(\text{소괄호})\rightarrow\{\text{중괄호}\}\rightarrow[\text{대괄호}]$

거듭제곱 계산

증학교 1학년에서는 거듭제곱을 직접 계산하는 과정을 집중적으로 다룬다. 중학교 2학년 부터는 지수법칙을 이용하면 거듭제곱을 완전히 계산하지 않고 처리하는 방법을 집중적으로 다룬다.

거듭제곱의 부호결정

자연수 $n$에 대하여 양수의 거듭제곱 $(\text{양수})^n$은 항상 양수이지만, 음수의 거듭제곱 $(\text{양수})^n$은 양수와 음수가 번갈아 나온다. 예를 들면 $(-2),(-2)^2,(-2)^3,(-2)^4\cdots$은 $-2,\;4,\;-8,\;+16\cdots$ 이다. 이를 정리하면 다음과 같다.

$\begin{cases} (\text{양수})^n =\text{양수}\\[0.5em]
(\text{음수})^n =\begin{cases} \;(n:\text{홀수}) \quad \text{음수}\\[0.5em] \;(n:\text{짝수})\quad \text{양수}\end{cases}\\
\end{cases}$

괄호를 푸는 방법

괄호를 푸는 방법은 다음 두 가지 방법 뿐이다.

괄호안의 수식계산
분배법칙

두 가지 방법에 대한 예를 들어 보자.

괄호안의 수식 계산

$(-2)\times\{3+(-1)\}=(-2)\times 2=-4$

분배법칙 이용하는 상황

$-6\times \left( \dfrac{1}{2}-\dfrac{2}{3}+\dfrac{5}{6} \right)=(-3)+(4)+(-5)$

괄호를 풀어주는 방법은 두 가지 방법 뿐이고 상황에 따라 적절한 방법을 찾는 연습이 필요하다.

이상으로 정수와 유리수의 사칙연산과 생략 규칙, 복잡한 식의 계산 순서에 대해 알아보았습니다.

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