이번 시간에는 정수와 유리수의 사칙연산에 대해 정리하고, 생략 규칙을 학습한 다음 복잡한 식의 계산 순서에 대해 정리해 보기로 하자.
개요
사칙연산 정리
덧셈과 뺄셈
덧셈
$(\bbox[#ffff00]{\pm}\;\bbox[#ffce8a]{\triangle})+(\bbox[#ffff00]{\pm}\;\bbox[#ffce8a]{\square})=(\bbox[#ffff00]{\text{부호}})(\bbox[#ffce8a]{\text{숫자}})$
- $\bbox[#ffff00]{\text{부호}}:\; \text{절댓값 큰 수 부호}$
- $\bbox[#ffce8a]{\text{숫자}}\begin{cases}
\text{동일 부호}:\; \text{두 수의 합}\; \triangle+\square\\[1em]
\text{반대 부호}:\; \text{두 수의 차}\;\left|\triangle-\square\right|\\[1em]
\end{cases}$
뺄셈
뺄셈은 부호가 반대인 수의 덧셈으로 바꿀 수 있다.
- $\triangle\bbox[#ffff00]{-}\bbox[#94feff]{(\square)}=\triangle\bbox[#ffff00]{+}\bbox[#94feff]{(-\square)}$
- $\triangle\bbox[#ffff00]{-}\bbox[#94feff]{(-\square)}=\triangle\bbox[#ffff00]{+}\bbox[#94feff]{(+\square)}$
곱셈과 나눗셈
곱셈
$(\bbox[#ffff00]{\pm}\;\bbox[#ffce8a]{\triangle})\times(\bbox[#ffff00]{\pm}\;\bbox[#ffce8a]{\square})=(\bbox[#ffff00]{\text{부호}})(\bbox[#ffce8a]{\text{숫자}})$
- $\bbox[#ffff00]{\text{부호}}\begin{cases}
\text{동일 부호}:\; \bbox[#ffc5fd]{+}\\[1em]
\text{반대 부호}:\; \bbox[#94feff]{-}\\[1em]
\end{cases}$ - $\bbox[#ffce8a]{\text{숫자}}: \text{ 절댓값의 곱}\;\triangle\times\square$
나눗셈
초등학교에서 배운 분수의 나눗셈과 동일하게 역수를 이용해 곱셈으로 바꿀 수 있다.
$\begin{align}
&(\text{유리수})\div({\color{#0000ff}\text{유리수}})\\[1em]
&\;\;=(\text{유리수})\times({\color{#0000ff}\text{유리수의 }}{\color{#dc143c}\text{역수}})
\end{align}$
식의 생략 규칙
이제 식을 생략하여 표현하는 방법에 대해 살펴보자.
음수의 소괄호 생략
음수에 소괄호가 필요한 이유
뺄셈 연산기호와 음수의 $-$부호를 구분하기 위해 괄호를 사용한다.
음수의 소괄호를 생략하는 경우
음수의 앞쪽에 연산기호가 없으면 괄호를 생략할 수 있다.
- $\bbox[#ffff00]{(-3)}+(-2)\rightarrow\bbox[#ffff00]{-3}+(-2)$
- $\bbox[#ffff00]{(-3)}\times(-2)\rightarrow \bbox[#ffff00]{-3}\times(-2)$
- $6\times\{\bbox[#ffff00]{(-3)}-(-2)\}\rightarrow 6\times\{\bbox[#ffff00]{-3}-(-2)\}$
$\bbox[#ffff00]{(-3)}$의 앞에는 연산기호가 없기 때문에 괄호 생략이 가능하다. 한편 $(-2)$의 앞쪽에 연산기호가 있기 때문에 괄호 생략 불가하다.
곱셈기호 생략
곱하는 두 수 중 하나의 수가 괄호로 구분된 경우 두 수 사이의 곱셈을 생략할 수 있다.
\begin{flalign}
(-2)\times\{3+(-1)\} &\xrightarrow[]{\text{곱셈 생략}}(-2)\{3+(-1)\}\\[1em]
&\xrightarrow[]{\text{괄호 생략}} -2\{3+(-1)\}
&&\end{flalign}
- 괄호로 구분된 수의 곱셈 생략
- 음수의 괄호생략 규칙
$-2\{3+(-1)\}$를 계산을 할 때는 생략된 기호를 다시 부활시켜 $(-2)\times\{3+(-1)\}$를 계산한다.
곱셈과 1의 생략
$\pm1$과 괄호로 구분된 수식 이 곱해진 경우 1과 곱셈을 생략할 수 있다.
- $1\times\left(\dfrac{1}{3}+3\right)=\left(\dfrac{1}{3}+3\right)$
- $-1\times\left(\dfrac{1}{3}+3\right)=-\left(\dfrac{1}{3}+3\right)$
특히 $-\left(\dfrac{1}{3}+3\right)$을 계산 할 때는 생략된 $-1$을 부활시켜 계산해야 한다.
복잡한 식의 계산 순서
연산법칙을 이용
뺄셈과 나눗셈은 연산법칙을 자유롭게 이용할 수 없지만, 덧셈과 곱셈은 연산법칙을 자유롭게 이용할 수 있다. 따라서 복잡한 식은 다음과 같이 계산한다.
$+,\;\bbox[#dcff8c]{-},\;\times\;\bbox[#dcff8c]{\div} \; \rightarrow\; +\; \times$ :교환, 결합, 분배
거듭제곱, 괄호 순서 계산
괄호와 거듭제곱의 계산순서는 다음과 같다.
- 거듭제곱을 먼저 계산
- $(\text{소괄호})\rightarrow\{\text{중괄호}\}\rightarrow[\text{대괄호}]$
거듭제곱 계산
증학교 1학년에서는 거듭제곱을 직접 계산하는 과정을 집중적으로 다룬다. 중학교 2학년 부터는 지수법칙을 이용하면 거듭제곱을 완전히 계산하지 않고 처리하는 방법을 집중적으로 다룬다.
거듭제곱의 부호결정
자연수 $n$에 대하여 양수의 거듭제곱 $(\text{양수})^n$은 항상 양수이지만, 음수의 거듭제곱 $(\text{양수})^n$은 양수와 음수가 번갈아 나온다. 예를 들면 $(-2),(-2)^2,(-2)^3,(-2)^4\cdots$은 $-2,\;4,\;-8,\;+16\cdots$ 이다. 이를 정리하면 다음과 같다.
$\begin{cases} (\text{양수})^n =\text{양수}\\[0.5em]
(\text{음수})^n =\begin{cases} \;(n:\text{홀수}) \quad \text{음수}\\[0.5em] \;(n:\text{짝수})\quad \text{양수}\end{cases}\\
\end{cases}$
괄호를 푸는 방법
괄호를 푸는 방법은 다음 두 가지 방법 뿐이다.
- 괄호안의 수식계산
- 분배법칙
두 가지 방법에 대한 예를 들어 보자.
괄호안의 수식 계산
$(-2)\times\{3+(-1)\}=(-2)\times 2=-4$
분배법칙 이용하는 상황
$-6\times \left( \dfrac{1}{2}-\dfrac{2}{3}+\dfrac{5}{6} \right)=(-3)+(4)+(-5)$
괄호를 풀어주는 방법은 두 가지 방법 뿐이고 상황에 따라 적절한 방법을 찾는 연습이 필요하다.
이상으로 정수와 유리수의 사칙연산과 생략 규칙, 복잡한 식의 계산 순서에 대해 알아보았습니다.