이번 시간에는 정수와 유리수의 덧셈과 뺄셈 그리고 혼합 계산에 대해 학습해 보기로 하자.
개요
덧셈의 연산법칙
초등학교 덧셈 확장
먼저 초등학교에서 배웠던 덧셈에 적용되는 연산 법칙을 예를 이용해 대해 정리하면 다음과 같다.
$\begin{align}16&+28+27+23+22\\
&=16+\bbox[#ffff00]{(28+22)}+\bbox[#94feff]{(27+23)}\text{교환}\\
&=16+\bbox[#ffff00]{50}+\bbox[#94feff]{50}\text{결합}\\
&=116\end{align}$
덧셈의 연산법칙
정수와 유리수 범위에서도 덧셈은 교환과 결합이 가능하다. 이를 초등기호를 이용해 정리해 보면 다음과 같다.
세 수 $\triangle, \square, \bigcirc$에 대하여
- 교환법칙 : $\triangle+\square=\square+\triangle$
- 결합법칙 : $\triangle + \square+ \bigcirc=\triangle +\bbox[#ffff00] {(\square+ \bigcirc)}$
초등기호 대신 문자를 사용하면 다음과 같이 정리할 수 있다.
세 수 $a,b,c$에 대하여
- 교환법칙 : $a+b=b+a$
- 결합법칙 : $a+b+c=a +\bbox[#ffff00] {(b+c)}$
반면 뺄셈은 교환법칙과 결합법칙이 성립하지 않음에 주의하자.
정수와 유리수의 덧셈과 뺄셈
정수와 유리수는 크기와 양이 존재하는 값으로 부호에 따른 덧셈, 뺄셈 규칙이 동일하게 적용된다. 따라서 정수를 중심으로 검증하고 유리수에도 확장하여 적용하기로 하자.
정수와 유리수의 덧셈
양이나 크기를 나타내는 자연수, 분수에 반대되는 성질을 표현하는 부호가 붙은 수의 덧셈은 다음과 같이 정리 할 수 있다.
| 정수 덧셈 | 부호결정 | 숫자 결정 |
|---|---|---|
| $(\bbox[#ffff00]{+}1)+(\bbox[#ffff00]{+}2)=\bbox[#ffff00]{+}3$ | $\bbox[#ffff00]{+}$ | $\text{두 수의 합}$ |
| $(\bbox[#ffff00]{+}1)+(\bbox[#ffff00]{+}1)=\bbox[#ffff00]{+}2$ | $\bbox[#ffff00]{+}$ | $\text{두 수의 합}$ |
| $(\bbox[#ffff00]{+}1)+(\bbox[#ffc5fd]{0})=\bbox[#ffff00]{+}1$ | $\bbox[#ffff00]{+}$ | $\text{그대로}$ |
| $(\bbox[#ffff00]{+}1)+(\bbox[#94feff]{-}1)=0$ | $0$ | $\text{두 수의 차}$ |
| $(\bbox[#ffff00]{+}1)+(\bbox[#94feff]{-}2)=\bbox[#94feff]{-}1$ | $\bbox[#94feff]{-}$ | $\text{두 수의 차}$ |
| $(\bbox[#ffff00]{+}1)+(\bbox[#94feff]{-}3)=\bbox[#94feff]{-}2$ | $\bbox[#94feff]{-}$ | $\text{두 수의 차}$ |
| $(\bbox[#ffff00]{+}1)+(\bbox[#94feff]{-}4)=\bbox[#94feff]{-}3$ | $\bbox[#94feff]{-}$ | $\text{두 수의 차}$ |
| 정수 덧셈 | 부호결정 | 숫자결정 |
|---|---|---|
| $(\bbox[#94feff]{-}1)+(\bbox[#94feff]{-}2)=\bbox[#94feff]{-}3$ | $\bbox[#94feff]{-}$ | $\text{두 수의 합}$ |
| $(\bbox[#94feff]{-}1)+(\bbox[#94feff]{-}1)=\bbox[#94feff]{-}2$ | $\bbox[#94feff]{-}$ | $\text{두 수의 합}$ |
| $(\bbox[#94feff]{-}1)+(\bbox[#ffc5fd]{0})=\bbox[#94feff]{-}1$ | $\bbox[#94feff]{-}$ | $\text{그대로}$ |
| $(\bbox[#94feff]{-}1)+(\bbox[#ffff00]{+}1)=0$ | $0$ | $\text{두 수의 차}$ |
| $(\bbox[#94feff]{-}1)+(\bbox[#ffff00]{+}2)=\bbox[#ffff00]{+}1$ | $\bbox[#ffff00]{+}$ | $\text{두 수의 차}$ |
| $(\bbox[#94feff]{-}1)+(\bbox[#ffff00]{+}3)=\bbox[#ffff00]{+}2$ | $\bbox[#ffff00]{+}$ | $\text{두 수의 차}$ |
| $(\bbox[#94feff]{-}1)+(\bbox[#ffff00]{+}4)=\bbox[#ffff00]{+}3$ | $\bbox[#ffff00]{+}$ | $\text{두 수의 차}$ |
정수와 유리수의 덧셈
$(\bbox[#ffff00]{\pm}\;\bbox[#ffce8a]{\triangle})+(\bbox[#ffff00]{\pm}\;\bbox[#ffce8a]{\square})=(\bbox[#ffff00]{\text{부호}})(\bbox[#ffce8a]{\text{숫자}})$
- $\bbox[#ffff00]{\text{부호}}:\; \text{절댓값 큰 수 부호}$
- $\bbox[#ffce8a]{\text{숫자}}\begin{cases}
\text{동일 부호}:\; \text{두 수의 합}\; \triangle+\square\\[1em]
\text{반대 부호}:\; \text{두 수의 차}\;\left|\triangle-\square\right|\\[1em]
\end{cases}$
정수와 유리수의 뺄셈
(자연수)와 성질이 반대되는 수가 $-$(자연수)로 정의 하였다. 우체부 모델을 이용해 학습해 보자. 우체부 모델에서 수표는 $+$(양수), 고지서는 $-$(음수)를 의미하고, 나에게 가지고 오는 것은 $+$(덧셈), 회수하는 것은 $-$(뺄셈)을 의미한다.
| 상황 | 자산 증가량 |
|---|---|
| 수표 $4$원을 가져오고 $\bbox[#ffff00]{\text{수표 3원을 회수해 감}}$ $\rightarrow \bbox[#94feff]{\text{고지서 3원을 가져 옴}}$ | $(+4)\bbox[#ffff00]{-(+3)}=1$ $(+4)\bbox[#94feff]{+(-3)}=1$ |
| 수표 $4$원을 가져 오고 $\bbox[#ffff00]{\text{고지서 3원을 회수해 감}}$ $\rightarrow \bbox[#94feff]{\text{수표 3원을 가져 옴}}$ | $(+4)\bbox[#ffff00]{-(-3)}=7$ $(+4)\bbox[#94feff]{+(+3)}=7$ |
우체부 모델을 이용해 뺄셈 결과를 정리하면 정수와 유리수의 뺄셈은 빼는 수의 부호를 바꾸어 더하는 것과 같음을 알 수 있다.
- $\triangle\bbox[#ffff00]{-}\bbox[#94feff]{(\square)}=\triangle\bbox[#ffff00]{+}\bbox[#94feff]{(-\square)}$
- $\triangle\bbox[#ffff00]{-}\bbox[#94feff]{(-\square)}=\triangle\bbox[#ffff00]{+}\bbox[#94feff]{(+\square)}$
덧셈과 뺄셈 혼합 계산
- 숫자에 생략된 양의 부호를 넣는다.
- 뺄셈을 덧셈으로 바꾼다.
- 덧셈의 교환, 결합 법칙을 이용해 계산한다.
예제
위의 계산 순서를 적용하여 다음 예제를 해결해 보자.
$\begin{align}
&(-8)+4-(-2)-4\\[1em]
&=(-8)+(+4)+(+2)+(-4)\\[1em]
&=(-8)+(+2)\\[1em]
&=-6
\end{align}$
$\begin{align}
&\dfrac{3}{2}-\left(-\dfrac{1}{6}\right)-\dfrac{1}{3}\\[1em]
&=\left(+\dfrac{3}{2}\right)+\left(+\dfrac{1}{6}\right)+\left(-\dfrac{1}{3}\right)\\[1em]
&=\left(+\dfrac{9}{6}\right)+\left(+\dfrac{1}{6}\right)+\left(-\dfrac{2}{6}\right)\\[1em]
&=\left(+\dfrac{9}{6}\right)+\left(+\dfrac{1}{6}\right)+\left(-\dfrac{2}{6}\right)\\[1em]
&=\dfrac{8}{6}=\dfrac{4}{3}
\end{align}$
이상으로 정수와 유리수의 덧셈과 뺄셈에 대한 학습을 마무리 하도록 하겠다.