정다면체 5개인 이유 증명, 꼭짓점 모서리 개수 표 정리

이번 시간에는 정다면체의 정의를 토대로 정다면체의 개수가 5개인 이유에 대해 증명하고, 꼭짓점 모서리 개수를 구하는 방법에 대해 학습하고, 학습한 내용을 표를 이용해 정리해 봅시다.

정다면체

다면체: 다각형 (n각형)으로만 둘러싸인 입체도형

  • 정다면체: 아래 두 조건을 만족하는 다면체
    • 모든 면이 합동정다각형
    • 한 꼭짓점에 모인 면의 개수 일정
  • 이름: 면의 개수에 따라 정사면체, 정육면체, 정팔면체, 정십이면체, 정이십면체 (정다면체는 5개 뿐이다!)

보충설명

정의 적용

다면체 정다면체 정의 적용

다면체에 대한 내용은 전시간에 정리 하였으므로 간단히 언급만 하고, 이번시간에는 정다면체를 집중적으로 다루도록 하겠다.

  • 다면체를 모두 고르면? 1,2,3,4,5

[적용1] 2번, 5번 다면체가 정다면체인지 아닌지 이유를 들어 설명하여라.

  • 2번 : 정다면체가 아니다.
    • 모든 면이 합동인 정삼각형이지만, 한 꼭짓점에 모인 면의 개수가 3개인 것과 4개인 것이 있다.
  • 3번 : 정다면체가 아니다.
    • 정삼각형, 정사각형이 같이 있어 합동이 아니고, 한 꼭짓점에 모인 면의 개수도 다르다.

[적용2] 다면체의 이름을 적어라.

  • 1: 육면체, 직육면체
  • 2: 육면체
  • 3: 육면체, 정육면체
  • 4: 사면체, 정사면체
  • 5: 오면체, 사각뿔
  • 6: 원뿔 (회전체) 다음 학습 내용

정다면체 5개 뿐인 이유 증명

정다면체의 정의에 따라 두 가지 조건에 맞는 다면체를 체계적으로 정리해 보자.

  • 조건1: 모든 면이 합동정다각형
  • 조건2: 한 꼭짓점에 모인 면의 개수 일정

한 꼭짓점에 모인 면의 개수

입체도형의 면의 최소 개수

위의 자료를 토대로 생각하면 입체도형을 만들기 위해 한 꼭짓점에 최소 3개의 면이 모여야 함을 알 수 있다.

합동인 정다각형

정다각형에는 정삼각형, 정사각형, 정오각형 이 있고, 정삼각형 부터 차례로 3개 이상 모이는 경우를 생각해 보아야 한다. 전체 입체를 생각하기 전에 한 꼭짓점만 전개도로 펼쳐서 생각을 정리해 보자.

정삼각형

한 꼭짓점에 모인 정삼각형의 개수
  • 정삼각형의 한 내각의 크기 : 60
  • 한 꼭짓점에 모일 수 있는 정사각형 개수 : 3, 4, 5, 6개
    • 3, 4, 5개 정다면체 가능성 있음
    • 6개 다면체 구성 불가
      60×6=360
    • 7개 이상
      한 꼭짓점에 모인 각 >360
      울퉁불퉁한 다면체가 만들어진다.

1의 가능성이 존재성을 보장하지 않기 때문에 직접 확인해 보아야 한다.

직접 만들어 보는것이 가장 좋은 방법이지만 여기서는 간단한 영상으로 존재함을 보이고 넘어가도록 하겠습니다.

한 면이 정삼각형인 정다면체 3개

따라서 한 꼭짓점에 정삼각형이 3, 4, 5개 모인 경우 다음과 같은 정다면체를 구성할 수 있다.

  • 정삼각형 3개 : 정사면체
  • 정삼각형 4개 : 정팔면체
  • 정삼각형 5개 : 정이십면체

정사각형

정삼각형과 비슷한 방법으로 다음과 같이 생각할 수 있다.

  • 정사각형의 한 내각의 크기 : 90
  • 한 꼭짓점에 모일 수 있는 정사각형 개수 : 3, 4개
    • 3개 정다면체 가능성 있음
      (정육면체)
    • 4개 다면체 구성 불가
      90×4=360

정오각형

  • 정오각형의 한 내각의 크기: 108
  • 한 꼭짓점에 모일 수 있는 정오각형의 개수: 3개
    • 3개 정다면체 가능성 있음
      (정십이면체)
    • 4개 (볼록)다면체 구성 불가
      108×4>360

정육각형, 정칠각형

한 꼭짓점에 모인 정육각형 정칠각형

정육각형

  • 정육각형의 한 내각의 크기: 120
  • 한 꼭짓점에 모일 수 있는 정육각형의 개수: 3개
    • 3개 구성불가
      120×3=360

정칠각형, 정팔각형에 대해서 생각해보자.

  • n각형의 한 내각의 크기
    • 180360n
    • 성질 : n이 커지면 한 내각의 크기가 점점 커진다.

정칠각형, 정팔각형 는 정육각형(한 내각 120)보다 한 내각의 크기가 더 크기 때문에 한 꼭짓점에 3개의 다면체가 모일 수 없다.

  • 정다면체를 만들수 없다.

결론, 정리

한 면이 정삼각형인 정다면체 3개

위의 과정을 토대로 정다면체는 5개 뿐임을 알 수 있다.

정다면체의 꼭짓점, 모서리 개수

정사면체, 정팔면체, 정육면체의 경우는 꼭짓점과 모서리의 개수를 직접 셀 수 있다. 그렇다면 정십이면체와 정이십면체의 꼭짓점과 모서리의 개수는 어떻게 셀 수 있을까?

대칭적인 구조에서 개수를 세는 아이디어

  • 규칙을 찾는다.
  • 전체를 규칙적으로 센다.
  • 중복을 고려한다.

꼭짓점 개수

정십이면체

  • 규칙 : 한 면당 꼭짓점 5개
  • 전체 : 5개×12면
  • 중복 : 3회 (한 꼭짓점에 모인 면의 개수)

5개×12면3회=20

정이십면체

  • 규칙 : 한 면당 꼭짓점 3개
  • 전체 : 3개×20면
  • 중복 : 5회 (한 꼭짓점에 모인 면의 개수)

3개×20면5회=12

모서리 개수

정십이면체

  • 규칙 : 한 면당 모서리 5개
  • 전체 : 5개×12면
  • 중복 : 2회 (한 모서리에 인접한 면의 개수)

5개×12면2회=30

정이십면체

  • 규칙 : 한 면당 모서리 3개
  • 전체 : 3개×20면
  • 중복 : 2회 (한 모서리에 인접한 면의 개수)

3개×20면2회=30

표 정리

오늘 학습한 내용을 표로 정리하고 마무리 하도록 하자.

정다면체 5개인 이유 꼭짓점 모서리 개수 표 정리

이상으로 정다면체의 종류가 5개 뿐인 이유와 정다면체의 꼭짓점과 모서리의 개수에 대한 학습을 마무리 하도록 하겠습니다.

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