이번시간에는 접선과 현이 이루는 각과 동일한 각을 원주각을 이용해 찾아보도록 하자. 그리고 원주각과 관련된 중요한 정리로 방멱정리에 대하여 학습해보자. 방멱의 정리는 할선정리 또는 접선정리로도 불린다.
(이 전시간 학습지와 동일하므로 전 시간에 이어 학습하는 경우 다운 받지 않고 전시간에 이어서 정리하길 바란다.)
개요
학습목표
- 원주각을 이용하여 접선과 현이 이루는 각과 동일한 각을 찾을 수 있다.
- 방멱정리에 대해 설명할 수 있다.
복습
원주각과 중심각사이 관계 대한 내용을 학습하고 아래의 내용을 학습하길 바란다.
접선과 현이 이루는 각
원 $O$위의 서로 다른 두 점$A,B$와 점$A$를 지나는 접선 $l$에 대하여 $A,B$는 원을 두 호로 나누고, 접선 $l$은 현$\overline{AB}$와 만나 두 각 을 만든다. 접선과 현이 이루는 각 중 하나를 $a$라 할 때 다음이 성립한다.
- [$a$ 내부의 호에 대한 원주각] $=a$
이는 접선과 현이 이루는 각에 따라 두 가지 경우로 나누어 보일 수 있다.
접선과 현이 이루는 각이 예각 일 때
접선 $l$과 현$\overline{AB}$와 이루는 예각 $\angle{BAC}=a$에 대하여 [$a$ 내부의 호에 대한 원주각] $=a$이다.
$\overset{\mmlToken{mo}{⏜}}{AB}$에 대한 원주각은 항상 일정하므로 $\overline{AP}$가 지름이 되는 점$P$에서 원주각($x$)이 $a$와 동일함을 보이면 충분하다.
- 지름 $\overline{AP}$에 대하여 $\angle{PAC}=a+b=90^{\circ}$,
- 반원에 대한 원주각 : $\angle{PBC}=90^{\circ}$ , $b+x=90^{\circ}$
- $\therefore x=a$
접선과 현이 이루는 각이 둔각 일 때
접선 $l$과 현$\overline{AB}$와 이루는 둔각 $\angle{BAD}=a$에 대하여 [$a$ 내부의 호에 대한 원주각] $=a$이다.
$\overset{\mmlToken{mo}{⏜}}{AMB}$에 대한 원주각은 항상 일정하므로 점$P$에서 원주각($x$)이 $a$와 동일함을 보이면 충분하다.
- $\angle{DAQ}=\angle{APQ}=90^{\circ}$
- $\overset{\mmlToken{mo}{⏜}}{QB}$의 원주각 : $\angle{QAB}=\angle{QPB}$
- $\therefore x=a$
방멱정리
방멱 정리는 할선 정리 또는 접선 정리 라고한다. 먼저 방멱에 대하여 알아보고 방멱 정리를 학습해 보자.
방멱의 정의
한 점 $P$를 지나는 직선이 원과 만나는 점을 $A,B$라고 할 때
- $\overline{PA}\times\overline{PB}$를 방멱이라고 한다.
- $A$에서 접하는 경우 방멱은 $\overline{PA}^2$이다.
두 현에 대한 방멱정리 증명1
원 내부에 한 점 $P$를 지나는 서로 다른 두 직선 $l,m$에 대하여 $l$ 과 $m$이 원과 만나는 두 점을 각각 $A,B$와 $C,D$라 하면 다음이 성립한다.
$\overline{PA}\times\overline{PB}=\overline{PC}\times\overline{PD}$
- $\overset{\mmlToken{mo}{⏜}}{AD}$의 원주각 : $\angle{ACD}=\angle{ABD}$
- $\overset{\mmlToken{mo}{⏜}}{CB}$의 원주각 : $\angle{CAB}=\angle{CDB}$
- $\triangle{OCA}\sim\triangle{OBD}$ 이고 닮음비에 의해 $ab=cd$
두 할선에 대한 방멱정리 증명2
원 밖의 한 점 $P$를 지나는 서로 다른 두 직선 $l,m$에 대하여 $l$ 과 $m$이 원과 만나는 두 점을 각각 $A,B$와 $C,D$라 하면 다음이 성립한다.
$\overline{PA}\times\overline{PB}=\overline{PC}\times\overline{PD}$
- $\square{ABDC}$는 원에 내접하므로 $\angle{PAC}=\angle{CDB}$
- $\triangle{PAC}\sim\triangle{PDB}$ 이고 닮음비에 의해 $ab=cd$
할선과 접선에 대한 방멱정리 증명3
원 밖의 한 점 $P$를 지나는 서로 다른 두 직선 $l,m$에 대하여 $l$이 원과 만나는 접점을 $A$, $m$이 원과 만나는 서로 다른 두 점을 $C,D$라 하면 다음이 성립한다.
- $\overline{PA}^2=\overline{PC}\times\overline{PD}$
- 접선과 현이 이루는 각 : $\angle{CAP}=\angle{ADP}$
- $\triangle{PAC}\sim\triangle{PDA}$이고 닮음비에 따라 $a^2=cd$
마지막으로 이번 시간에 학습한 내용을 정리하고 마무리 하도록 하자.
정리
- [접선과 이 이루는 각]$=$[각 내부의 호에 대한 원주각}
- 원 내부의 한 점 $P$를 지나는 두 현에 대한 방멱의 값은 일치한다.
- 원 밖의 한 점 $P$를 지나는 두 할선에 대한 방멱의 값은 일치한다.
- 원 밖의 한 점 $P$를 지나는 접선과 할선에 대한 방멱의 값은 일치한다.
방멱의 정리를 할선정리라고 부르기도 한다.