일차부등식 풀이 중2

일차부등식의 풀이에서 가장 중요한 것은 부등식의 성질을 올바르게 적용하는 것입니다. 이 글에서는 부등식의 정의에서 부터 부등식의 성질, 이를 활용한 일차부등식의 풀이 방법을 다루었습니다. 나아가 복잡한 일차부등식을 풀이하는 방법과 부등식의 해를 수직선에 나타내는 방법 까지 알아보기로 합시다.

개요

다항식 용어 복습 (중1)

중학교 1학년에 배운 다항식과 관련된 용어를 정리하면 다음과 같습니다.

항 : $\bbox[#ffff00]{\text{수 또는 문자}}$의 $\bbox[#ffc5fd]{\text{곱}}$ 으로만 이루어진 식
- 항의 계수 : 문자에 곱해진 수
- 항의 차수 : 문자가 곱해진 개수
다항식 : 항으로만 이루어진 식 (항이 한개인 경우 : 단항식)
- 다항식의 차수 : 항의 최대 차수

다항식을 항의 차수에 따라 다음과 같이 부르기로 약속하였습니다.

$x$에 대한 $n$차식 : 문자 $x$에 대한 항의 최대 차수가 n 차
$x$에 대한 일차식의 일반형 : $ax+b\;\;(a,\;b : \text{상수},\;a\neq0)$

중학교 1학년 내용이 기억나지 않는다면 아래의 링크를 통해 복습하길 바랍니다.

중학교 1학년 다항식 용어정리, 일차식의 일반형

일차부등식의 풀이

일차방정식과 비슷하게 이항하여 정리한 식을 기준으로 일차부등식을 다음과 같이 정의합니다.

일차부등식 : 부등식의 모든 항을 이항하여 정리한 식이 다음 중 하나인 경우
- $ax+b<0$, $ax+b>0$
  $ax+b \leq0$, $ax+b\geq0$
  $(a,\;b : \text{상수},\;a\neq0)$

부등식의 성질을 이용해 다음과 같은 형태로 변형하여 해를 구할 수 있습니다.

$x<\square$, $x>\square$, $x\leq \square$, $x\geq \square$

일차부등식의 풀이

이항 $\rightarrow$ $ax<b$, $ax>b$, $ax\leq b$, $ax\geq b$
- 미지수(x)를 포함하는 항 : 좌변
- 상수항 : 우변
a로 양변을 나눈다. ($a$의 역수를 양변에 곱)
- $a>0$ : 부등호 유지
- $\bbox[#ffff00]{a<0}$ : 부등호 $\bbox[#ffff00]{\text{반대}}$

예제

[1] $5x-4<3x-14$ 의 해를 구하여라.

\begin{flalign} \bbox[#ffff00]{5x}^+\bbox[#dcff8c]{-4}&<\bbox[#ffff00]{3x}^+\bbox[#dcff8c]{-14}\\[1em]
5x \; {\color{red}-3x}&<-14\;{\color{red}+4}\\[1em]
\bbox[#94feff]{2}x&<-10\\[1em]
x&{\color{red}<}-10 \times \bbox[#94feff]{\dfrac{1}{2}}\\[1em]
x&<-5&&\end{flalign}

[2] $2x+8 \leq 6x-4$ 를 풀어라.

\begin{flalign} \bbox[#ffff00]{2x}^+\bbox[#dcff8c]{+8} &\leq \bbox[#ffff00]{6x}^+\bbox[#dcff8c]{-4}\\[1em]
2x{\color{red}-6x} &\leq-4{\color{red}-8}\\[1em]
\bbox[#94feff]{-4}x &\leq -12 \\[1em]
x & {\color{red}\geq} -12 \times \bbox[#94feff]{\left(-\dfrac{1}{4}\right)}\\[1em]
x & \geq 3 &&\end{flalign}

복잡한 일차부등식 풀이

괄호 : 분배법칙 이용
계수가 분수 : 양변에 분모의 최소공배수를 곱한다.
계수가 소수 : 양변에 10의 거듭제곱을 곱한다.

[괄호]

\begin{flalign} -2(x+1) &\geq 5(2x-3)-11\\[1em]
-2x-2 &\geq 10x-15-11\\[1em]
\bbox[#ffff00]{-12}x &\geq -24\\[1em]
x &{\color{red}\leq} 2&&\end{flalign}

[분수계수]

\begin{flalign} &\dfrac{2}{3}x-\dfrac{3}{2} \geq \dfrac{1}{4}x+\dfrac{7}{2} \\[1em]
&\left[ \dfrac{2}{3}x-\dfrac{3}{2} \geq \dfrac{1}{4}x+\dfrac{7}{2} \right] \times \bbox[#ffff00]{12}\\[1em]
&8x-18 {\color{red}\geq} 3x+42\\[1em]
&\bbox[#ffff00]{5}x \geq60\\[1em]
&x {\color{red}\geq}12&&\end{flalign}

[소수계수]

\begin{flalign}&0.92x-0.3 \geq 1.12x+1.1\\[1em]
&[ 0.92x-0.3 \geq 1.12x+1.1] \times \bbox[#ffff00]{100} \\[1em]
&92x\bbox[#ffff00]{-30} {\color{red}\geq} \bbox[#dcff8c]{112x}+110 \\[1em]
&92x \bbox[#dcff8c]{-112x} \geq 110 \bbox[#ffff00]{+30} \\[1em]
&\bbox[#ffff00]{-20} x \geq 140 \\[1em]
& x{\color{red}\leq} -70 && \end{flalign}