일차방정식 풀이 방법 정의 일반형 역수 표기법

이번 시간에는 일차방정식의 정의와 일반형에 대해 알아보고 일반적인 일차방정식 풀이와 역수를 표기하는 방법에 대해 정리해 보기로 하자.

일차방정식 정의

일차방정식의 풀이에 앞서 일차방정식의 정의에 대해 알아보자.

• 일차방정식 : 우변 $\stackrel{\text{이항}}{\to }$ 좌변 이항한 결과 $(\text{일차식})=0$ 인 식

다음의 예를 통해 어떤 식을 일차방정식이라 하는지 생각해보자.

1. $2(x-1)=2x+4$
   위의 식을 정리하면 $2x-2=2x+4$이고 등식의 성질을 이용해 좌변으로 항을 모두 이항시키면, $-2-4=0$이라는 새로운 식을 얻을 수 있다. 이는 말도 안되는 결과 이고 따라서 주어진 식은 잘못된 식이라 할 수 있다.
2. $2x+8=2(x+2)+4$
   위의 식을 정리하면 $2x+8=2x+4+4$이고 등식의 성질을 이용해 좌변으로 항을 모두 이항시키면, $0=0$이라는 결과를 얻을 수 있다. 이항을 통해 좌변의 항이 모두 없어졌다는 것은 좌변과 우변이 항상 같은 값임을 의미하고, 이는 주어진 식이 항등식임을 의미한다.
3. $2x+3=5-3x$
   동일한 방법으로 좌변을 이항하여 정리하면 $5x-2=0$이 되고 $(\text{일차식})=0$ 꼴 이므로 일차방정식 이다.
4. $2(x^2-1)=2x^2+x$
   동일한 방법으로 좌변을 이항하여 정리하면 $-x-2=0$이 되고 $(\text{일차식})=0$ 꼴 이므로 일차방정식 이다.

일차방정식의 일반형

일차방정식의 일반적인 형태에 대해 알아보기 위해 (일차식)의 일반형에 대해 정리할 필요가 있다.

$x$에 대한 일차식이란, 항의 최대 차수가 일차인 다항식을 의미하고, 항은 문자 또는 숫자의 곱으로만 이루어진 식을 의미한다. 따라서 $x$에 대한 일차식은 일반적으로 일차항(1차)과 상수항(0차) 두 개의 항으로 구성되고 $ax+b$와 같이 표현 할 수 있다. 이때 일차항의 계수가 0이 되면 0차식이 되기 때문에 $a\ne 0$ 조건이 필요하다.

위의 내용을 수식으로 정리하면 다음과 같다.

• $x$에 대한 일차식의 일반형 : $ax+b(a\ne 0)$
  $\{\begin{array}{l}x:\text{미지수}\\ a,b:\text{상수}\end{array}$

일차식의 일반형을 이용해 일차방정식의 일반형을 표현하면 다음과 같다.

• $x$에 대한 일차방정식의 일반형 : $ax+b=0(a\ne 0)$

일차방정식의 풀이

다음 예제를 통해 일차방정식을 풀이하는 과정을 정리해 보자.

• ${\displaystyle \frac{5}{6}}x-{\displaystyle \frac{1}{3}}(x-8)={\displaystyle \frac{1}{6}}x+{\displaystyle \frac{1}{6}}(2x+4)$

문제를 풀이하는 과정을 먼저 정리하고 일반적인 일차방정식의 풀이 방법에 대해 정리해 보기로 하자.

$\begin{array}{rl}{\displaystyle \frac{5}{6}}x-{\displaystyle \frac{1}{3}}(x-8)& ={\displaystyle \frac{1}{6}}x+{\displaystyle \frac{1}{6}}(2x+4)\cdots (1)\\ 5x+2(x-8)& =x+1(2x+4)\cdots (2)\\ 5x+2x-16& =x+2x+4\cdots (3)\\ 5x+2x-x-2x& =4+16\cdots (4)\\ 4x& =20\cdots (5)\\ \therefore x& =20\times {\displaystyle \frac{1}{4}}=5\cdots (6)\end{array}$

일반적인 일차방정식의 풀이법

위의 예제를 토대로 일반적인 일차방정식의 풀이법을 단계별로 정리하면 다음과 같다.

1. $(1)\to (2):$ 분수, 소수 $\stackrel{\text{등식의 성질}}{\to }$ 정수
   분수나 소수가 있으면 양변에 적당한 수를 곱해 정수로 바꾼다.
2. $(2)\to (3):$ 괄호$\stackrel{\text{분배법칙}}{\to }$ 항으로 정리
   괄호가 있으면 분배법칙을 이용해 항별로 정리
3. $(3)\to (4):$ 이항$\underset{\text{숫자: 우변}}{\overset{\text{문자: 좌변}}{\to }}$정리
   $x=\text{숫자}$인 해를 구하기 위해 문자와 숫자를 이항하여 정리
4. $(4)\to (5):$ 동류항 계산$\to$ $ax=b$정리
   좌변과 우변의 동류항을 정리하여 $ax=b$꼴로 정리
5. $(5)\to (6):$ $ax=b$ 풀이 (등식의 성질)
   $ax=b\stackrel{\text{a로 나눈다}}{\to }x=b÷a$
   $ax=b\underset{\text{a의 역수}:{\displaystyle \frac{1}{a}}}{\overset{\text{a의 역수를 곱한다}}{\to }}x=b\times {\displaystyle \frac{1}{a}}$

위의 5단계에서 사용한 역수의 표기 방법에 대해 정리해 보자.

역수의 표기법

마지막으로 문자로 주어진 식에서 역수를 표기하는 방법에 대해 정리하고 학습을 마무리 하도록 하자.

• $(a\text{의 역수})={\displaystyle \frac{1}{a}}$
  ${\displaystyle \frac{1}{a}}$는 분자가 $1$인 수가 아니고 $a$의 역수를 표기하는 기호이다.

위의 표기 방법을 이용해 $b÷a$와 관련된 수식을 정리하면 다음과 같다.

• $b÷a={\displaystyle \frac{b}{a}}=b\times {\displaystyle \frac{1}{a}}$

이상으로 일차방정식의 풀이와 관련된 학습을 마무리 하도록 하겠다.