이번 시간에는 일차방정식의 정의와 일반형에 대해 알아보고 일반적인 일차방정식 풀이와 역수를 표기하는 방법에 대해 정리해 보기로 하자.
개요
일차방정식 정의
일차방정식의 풀이에 앞서 일차방정식의 정의에 대해 알아보자.
- 일차방정식 : 우변 $\xrightarrow[]{\text{이항}}$ 좌변 이항한 결과 $(\text{일차식})=0$ 인 식
다음의 예를 통해 어떤 식을 일차방정식이라 하는지 생각해보자.
- $2(x-1)=2x+4$
위의 식을 정리하면 $2x-2=2x+4$이고 등식의 성질을 이용해 좌변으로 항을 모두 이항시키면, $-2-4=0$이라는 새로운 식을 얻을 수 있다. 이는 말도 안되는 결과 이고 따라서 주어진 식은 잘못된 식이라 할 수 있다. - $2x+8=2(x+2)+4$
위의 식을 정리하면 $2x+8=2x+4+4$이고 등식의 성질을 이용해 좌변으로 항을 모두 이항시키면, $0=0$이라는 결과를 얻을 수 있다. 이항을 통해 좌변의 항이 모두 없어졌다는 것은 좌변과 우변이 항상 같은 값임을 의미하고, 이는 주어진 식이 항등식임을 의미한다. - $2x+3=5-3x$
동일한 방법으로 좌변을 이항하여 정리하면 $5x-2=0$이 되고 $(\text{일차식})=0$ 꼴 이므로 일차방정식 이다. - $2(x^2-1)=2x^2+x$
동일한 방법으로 좌변을 이항하여 정리하면 $-x-2=0$이 되고 $(\text{일차식})=0$ 꼴 이므로 일차방정식 이다.
일차방정식의 일반형
일차방정식의 일반적인 형태에 대해 알아보기 위해 (일차식)의 일반형에 대해 정리할 필요가 있다.
$x$에 대한 일차식이란, 항의 최대 차수가 일차인 다항식을 의미하고, 항은 문자 또는 숫자의 곱으로만 이루어진 식을 의미한다. 따라서 $x$에 대한 일차식은 일반적으로 일차항(1차)과 상수항(0차) 두 개의 항으로 구성되고 $ax+b$와 같이 표현 할 수 있다. 이때 일차항의 계수가 0이 되면 0차식이 되기 때문에 $a\neq0$ 조건이 필요하다.
위의 내용을 수식으로 정리하면 다음과 같다.
- $x$에 대한 일차식의 일반형 : $ax+b\;\;(a\neq0)$
$\begin{cases} x:\;\text{미지수}\\ a,\;b:\;\text{상수}\end{cases}$
일차식의 일반형을 이용해 일차방정식의 일반형을 표현하면 다음과 같다.
- $x$에 대한 일차방정식의 일반형 : $ax+b=0\;\;(a\neq0)$
일차방정식의 풀이
다음 예제를 통해 일차방정식을 풀이하는 과정을 정리해 보자.
- $\dfrac{5}{6}x-\dfrac{1}{3}(x-8)=\dfrac{1}{6}x+\dfrac{1}{6}(2x+4)$
문제를 풀이하는 과정을 먼저 정리하고 일반적인 일차방정식의 풀이 방법에 대해 정리해 보기로 하자.
$\begin{align}\dfrac{5}{6}x-\dfrac{1}{3}(x-8)&=\dfrac{1}{6}x+\dfrac{1}{6}(2x+4)\cdots(1)\\[1em]
5x\bbox[#ffff00]{+2}(x-8)&=x\bbox[#ffff00]{+1}(2x+4)\cdots(2)\\[1em]
5x+2x-16&=x+2x+4\cdots(3)\\[1em]
5x+2x-x-2x&=4+16\cdots(4)\\[1em]
4x&=20\cdots(5)\\[1em]
\therefore\;\; x&=20\times\dfrac{1}{4}=5\cdots(6)\end{align}$
일반적인 일차방정식의 풀이법
위의 예제를 토대로 일반적인 일차방정식의 풀이법을 단계별로 정리하면 다음과 같다.
- $(1)\rightarrow(2):$ 분수, 소수 $\xrightarrow[]{\text{등식의 성질}}$ 정수
분수나 소수가 있으면 양변에 적당한 수를 곱해 정수로 바꾼다. - $(2)\rightarrow(3):$ 괄호$\xrightarrow[]{\text{분배법칙}}$ 항으로 정리
괄호가 있으면 분배법칙을 이용해 항별로 정리 - $(3)\rightarrow(4):$ 이항$\xrightarrow[\text{숫자: 우변}]{\text{문자: 좌변}}$정리
$x=\text{숫자}$인 해를 구하기 위해 문자와 숫자를 이항하여 정리 - $(4)\rightarrow(5):$ 동류항 계산$\rightarrow$ $ax=b$정리
좌변과 우변의 동류항을 정리하여 $ax=b$꼴로 정리 - $(5)\rightarrow(6):$ $ax=b$ 풀이 (등식의 성질)
$ax=b\xrightarrow[]{\text{a로 나눈다}}x=b\div a$
$ax=b\xrightarrow[\text{a의 역수}:\;\dfrac{1}{a}]{\text{a의 역수를 곱한다}}x=b\times \dfrac{1}{a}$
위의 5단계에서 사용한 역수의 표기 방법에 대해 정리해 보자.
역수의 표기법
마지막으로 문자로 주어진 식에서 역수를 표기하는 방법에 대해 정리하고 학습을 마무리 하도록 하자.
- $(a\text{의 역수})=\dfrac{1}{a}$
$\dfrac{1}{a}$는 분자가 $1$인 수가 아니고 $a$의 역수를 표기하는 기호이다.
위의 표기 방법을 이용해 $b\div a$와 관련된 수식을 정리하면 다음과 같다.
- $b\div a=\dfrac{b}{a}=b\times \dfrac{1}{a}$
이상으로 일차방정식의 풀이와 관련된 학습을 마무리 하도록 하겠다.