일차방정식은 미지수가 포함된 등식을 정리하여 $(\text{일차식})=0$의 꼴로 나타낼 수 있는 방정식입니다. 중학교에서는 주로 주어진 식을 이항하고 동류항을 정리하여 해를 구하는 방법을 익히지만, 고등 과정에서는 일차방정식의 일반형과 계수의 조건까지 함께 이해하는 것이 중요합니다. 이번 글에서는 일차방정식의 뜻과 일반형을 정리하고, $ax=b$의 풀이에서 사용되는 역수의 의미를 살펴본 다음, 분수와 괄호가 포함된 복잡한 일차방정식의 풀이 과정과 $a=0$인 경우까지 확장하여 정리해 보겠습니다.
일차방정식
일차방정식의 풀이에 앞서 일차방정식의 뜻에 대해 정리해 봅시다.
- 일차방정식 :모든 항을 좌변 이항한 결과 $(\text{일차식})=0$인 식
다음의 예를 통해 어떤 식을 일차방정식이라 하는지 다시 생각해 봅시다.
- $2(x-1)=2x+4$
- $2x+8=2(x+2)+4$
- $2x+3=5-3x$
- $2(x^2-1)=2x^2+x$
설명
- $2(x-1)=2x+4$
위의 식을 정리하면 $2x-2=2x+4$이고 등식의 성질을 이용해 좌변으로 항을 모두 이항시키면, $-2-4=0$이라는 새로운 식을 얻을 수 있다. 이는 말도 안되는 결과 이고 따라서 주어진 식은 잘못된 식이라 할 수 있다. - $2x+8=2(x+2)+4$
위의 식을 정리하면 $2x+8=2x+4+4$이고 등식의 성질을 이용해 좌변으로 항을 모두 이항시키면, $0=0$이라는 결과를 얻을 수 있다. 이항을 통해 좌변의 항이 모두 없어졌다는 것은 좌변과 우변이 항상 같은 값임을 의미하고, 이는 주어진 식이 항등식임을 의미한다. - $2x+3=5-3x$
동일한 방법으로 좌변을 이항하여 정리하면 $5x-2=0$이 되고 $(\text{일차식})=0$ 꼴 이므로 일차방정식 이다. - $2(x^2-1)=2x^2+x$
동일한 방법으로 좌변을 이항하여 정리하면 $-x-2=0$이 되고 $(\text{일차식})=0$ 꼴 이므로 일차방정식 이다.
일차방정식 풀이
일차방정식의 풀이를 정리하기 위해 먼저 일차식의 일반적인 형태에 대해 살펴 봅시다.
일차식의 일반형
일차식은 다음과 같이 일반적으로 표현할 수 있습니다.
- $x$에 대한 일차식의 일반형 : $ax+b\;\;(a\neq0)$
- $x$는 미지수, $a$ $b$는 상수라고 합니다.
왜 이와같은 형식이 일차식의 일반적인 형태인지에 대해 생각해 봅시다.
설명
$x$에 대한 일차식이란, 항의 최대 차수가 일차인 다항식을 의미하고, 항은 문자 또는 숫자의 곱으로만 이루어진 식을 의미합니다. 따라서 $x$에 대한 일차식은 일반적으로 일차항(1차)과 상수항(0차) 두 개의 항으로 구성되고 $ax+b$와 같이 표현 할 수 있습니다. 이때 일차항의 계수가 0이 되면 일차항이 사라지고, 0차식이 되기 때문에 $a\neq0$ 조건이 필요합니다.
일차식의 일반적인 형태를 이용해
$ax=b$ ($a\ne0$)의 풀이
$(일차식)=0$ 꼴의 이차방정식은 $ax+b=0$ ($a\ne0$) 꼴로 나타낼 수 있습니다. 이항을 이용해 $ax=b$ ($a\ne0$)꼴로 간단히 표현할 수 있고, 등식의 성질을 이용해 해를 구하면 다음과 같습니다.
- $ax=b$ ($a\ne0$)의 해는 $x=\dfrac{b}{a}$
설명
- 양변을 $a$로 나누는 방법 $x=b\div a=\dfrac{b}{a}$
- 양변에 $a$의 역수를 곱하는 방법 $x=b\times \dfrac{1}{a}=\dfrac{b}{a}$
$\dfrac{1}{a}$는 분자가 $1$인 수로 생각하기도 하지만, 위의 $\dfrac{1}{a}$은 역수를 의미하는 표기방법으로 이해하는 것이 좋습니다.
이제 복잡하게 표현된 일차방정식의 풀이에 대해 정리해 보도록 하겠습니다.
복잡한 일차방정식의 풀이
일차방정식 $\dfrac{5}{6}x-\dfrac{1}{3}(x-8)=\dfrac{1}{6}x+\dfrac{1}{6}(2x+4)$ 을 풀이하는 과정을 통해 일반적인 상황의 풀이방법을 정리해 보도록 합시다.
$\dfrac{5}{6}x-\dfrac{1}{3}(x-8)=\dfrac{1}{6}x+\dfrac{1}{6}(2x+4)\cdots(1)$
$5x\bbox[#ffff00]{+2}(x-8)=x\bbox[#ffff00]{+1}(2x+4)\cdots(2)$
$5x+2x-16=x+2x+4\cdots(3)$
$5x+2x-x-2x=4+16\cdots(4)$
$4x=20\cdots(5)\\[1em]$
$x=20\times\dfrac{1}{4}=5\cdots(6)$
설명
- $(1)\longrightarrow(2):$ 분수나 소수가 있으면 양변에 적당한 수를 곱해 정수로 바꾼다.
- $(2)\longrightarrow(3):$ 괄호가 있으면 분배법칙을 이용해 항별로 정리
- $(3)\longrightarrow(4):$ $x=(수)$인 해를 구하기 위해 문자는 좌변, 숫자는 우변으로 이항하여 정리
- $(4)\longrightarrow(5):$ 좌변과 우변의 동류항을 정리하여 $ax=b$꼴로 정리
- $(5)\longrightarrow(6):$ 등식의 성질을 이용해 $ax=b$을 푼다.
$ax=b$ 고등확장
$a\ne0$의 조건이 없는 $ax=b$ ($a,\ b:\ 상수$)로 주어진 방정식의 풀이에 대해 정리하고 마무리 하도록 하겠습니다.
- ($a\ne0$) 일 때 $x=\dfrac{b}{a}$ (하나의 해)
- ($a=0$) 일 때
- $b=0$이면, $0\times x=0$ 꼴이 되어 해가 무수히 많다. (부정)
- $b\ne0$이면 $0\times x=(0\ 이\ 아닌\ 수)$꼴이므로 해가 없다. (불능)
방정식의 해가 무수히 많을 때는 해를 결정지을 수 없기 때문에 부정이라고 하고, 방정식의 해가 없는 경우 해를 찾을 수 없기 때문에 불능이라고 합니다.
예제
$x$에 대한 방정식 $(a-1)(a-2)x=a-2$을 풀이하는 방법에 대해 살펴봅시다.
풀이
$(a-1)(a-2)\ne0$인 경우와 $(a-1)(a-2)=0$로 나누어 풀이해 주면 됩니다.
- $a\ne1$, $a\ne2$일 때 $(a-1)(a-2)\ne0$ 이므로 양변을 나누어 다음과 같이 정리할 수 있습니다. $x=\dfrac{a-2}{(a-1)(a-2)}=\dfrac{1}{a-1}$
- $a=1$일 때, (준식)은 $0\times x=-1$이 되어 $x$에 어떤 수를 대입해도 등식이 성립하지 않으므로 해가 없습니다. (불능)
- $a=2$일 때, (준식)은 $0\times x=0$이 되어 $x$에 어떤 수를 대입해도 항상 등식이 성립하므로 해가 무수히 많습니다. (부정)
일차방정식은 식을 정리했을 때 $(\text{일차식})=0$의 꼴이 되는 방정식이며, 일반적으로 $ax+b=0$ $(a\ne0)$의 형태로 나타낼 수 있습니다. 복잡한 일차방정식도 분모를 없애고, 괄호를 풀고, 문자는 한쪽으로 이항한 뒤 동류항을 정리하면 결국 $ax=b$의 꼴로 정리할 수 있습니다. 이때 $a\ne0$이면 $x=\dfrac{b}{a}$와 같이 하나의 해를 얻을 수 있고, $\dfrac{1}{a}$를 곱하는 것은 $a$의 역수를 이용하는 것과 같습니다. 또한 고등 과정에서는 $a=0$인 경우까지 고려하여 해가 무수히 많은 부정과 해가 존재하지 않는 불능까지 구분할 수 있어야 합니다.