인수분해 공식 정리 중3 고1

이번 시간에는 중학교 3학년 고등학교 1학년에 등장하는 인수분해 공식을 정리하려고 합니다.

인수분해의 뜻과 용어 정리

• 다항식 $A$의 인수분해
  다항식 $A$를 두 개 이상의 다항식의 곱으로 나타내는 것
• 다항식 $A$의 인수
  곱해서 다항식 $A$를 이루는 각 다항식을 $A$의 인수라 한다.

예를 들면 다음과 같습니다.

$x^2+5x+6 \rightleftharpoons (x+2)(x+3)$

• $\rightharpoonup$ : 인수분해
• $\leftharpoondown$ : 전개

따라서 인수분해는 전개의 역과정이다.

중3과 고1의 인수분해 차이

중학교 3학년에서는 이차식을 인수분해하여 항 이 두 개 이하인 식으로 정리하는 인수분해를 주로 다루고

고등학교 1학년에서는 3차 이상의 식의 인수분해, 항이 셋 이상인 식으로 인수분해 하는 문제까지 다룹니다.

전개의 역방향이 인수분해 이므로 인수분해 공식은 곱셈공식의 좌변과 우변을 바꾼 것입니다.

중학교 인수분해 공식

먼저 중학교 곱셈공식을 다시 정리해 보고 인수분해 공식을 정리해 봅시다.

중학교 곱셈공식(중3)

중학교에서 다음과 같이 곱셈 공식을 학습하였습니다. 더 자세한 학습은 아래의 링크를 이용해 주세요.

• 중학교 곱셈공식 복습 바로가기

1. 제곱공식
   • $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$
   • $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$
2. 합차공식
   • $(a+b)(a-b)=a^2-b^2$
3. 방정식 공식
   • \begin{flalign}(x+a)&(x+b)\\
     &=x^2+(a+b)x+ab&&\end{flalign}
   • \begin{flalign}(ax+b)&(cx+d)\\
     &=acx^2+(ad+bc)x+bd&&\end{flalign}

중학교 인수분해 공식

곱셈공식의 좌변과 우변을 바꾸어 다음과 같은 인수분해 공식을 얻을 수 있습니다.

$a^2+2ab+b^2=(a+b)^2$
$a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$
$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$
$x^2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)$
$acx^2+(ad+bc)x+bd=(ax+b)(cx+d)$

고등학교 인수분해 공식

먼저 고등학교 곱셈공식에 대해서 복습하고 고등학교 인수분해 공식을 정리해 봅시다.

고등학교 곱셈공식(고1)

• 고등학교 곱셈공식

1. 제곱공식
   • \begin{flalign}(a+&b+c)^2\\
     &=a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca&&\end{flalign}
2. 세제곱 공식
   • $(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$
   • $(a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2+b^3$
3. 세제곱 합차 공식
   • $(a+b)(a^2-ab+b^2)=a^3+b^3$
   • $(a-b)(a^2+ab+b^2)=a^3-b^3$
4. \begin{flalign}(a+b+c)&(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)\\
   &=a^3+b^3+c^3-3abc&&\end{flalign}
5. \begin{flalign}(a^2+ab+b^2)&(a^2-b+b^2)\\
   &=a^4+a^2b^2+b^4&&\end{flalign}

고등학교 인수분해 공식

곱셈 공식의 좌변과 우변을 바꾸어 다음과 같이 인수분해 공식을 유도할 수 있습니다.

$\begin{align}a^2+b^2+c^2+&2ab+2bc+2ca\\
&=(a+b+c)^2\end{align}\\[2em]$
$a^3+3a^2b+3ab^2+b^3=(a+b)^3\\[1em]$
$a^3-3a^2b+3ab^2+b^3=(a-b)^3\\[1em]$
$a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)\\[1em]$
$a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)\\[1em]$
$\begin{align}a^3&+b^3+c^3-3abc\\
&=\left\{\begin{matrix}
(a+b+c)\; \times \\
(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)
\end{matrix} \right\}\end{align}\\[3em]$
$\begin{align}a^4&+a^2b^2+b^4\\
&=(a^2+ab+b^2)(a^2-ab+b^2)\end{align}$