이차함수의 평행이동 관계식 구하기 중학교 3학년

이차함수의 평행이동은 고등학교 함수의 평행이동을 이해하는 초석이 된다. 이번 시간에 평행이동 관계식의 원리를 이해해야 고등학교에서 일반적인 함수의 평행이동을 암기하지 않고 잘 설명할 수 있다. 바로 내용을 살펴보기로 하자.

학습목표

1. 이차함수 $y=2x^2$을 $x$축 과 $y$축으로 평행이동한 관계식을 구할 수 있다.
2. 이차함수 $y=a{x}^2$을 $x$축 과 $y$축 으로 평행이동한 관계식을 구할 수있다.

전 시간에 배운 이차함수 그래프에 대해 모르는 학생은 아래 링크를 학습하고 오길 바란다.

• 이차함수 개념 그래프 그리기, 성질 (포물선, 축의 방정식 꼭짓점)

이번시간에 학습할 내용은 전시간 학습지에 이어서 사용하면 된다. 학습지가 필요한 학생만 아래의 링크를 이용해 다운로드 하길 바란다.

이차함수의 평행이동과 관계식

• 함수의 평행이동 : 함수의 그래프 모양은 유지한 채로 좌표평면의 다른 위치에 그대로 옮기는 것
• 관계식 : $x$값이 주어질 때 $y$값을 결정할 수 있는 식
  • 예시) $y=2x^2$의 의미 : $x$값이 주어질 때

이차함수의 평행이동을 중학생들이 어려워하기 때문에 일반적인 함수의 평행이동으로 설명하지 않고 숫자를 대입하여 설명하는 경향이 있다. 이는 고등학교 교육과정에서 다시 다룰 내용과의 연관성을 떨어뜨리고 원리의 이해보다 계산에 생각을 집중시켜 학습에 부정적인 영향을 준다. 오늘 학습할 내용을 잘 정리하여 수학적 개념을 확실히 이해하길 바란다.

이차함수의 평행이동

먼저 $y=2x^2$를 $x$축으로 $7$만큼 $y$축으로 $5$만큼 평행이동한 이차함수 그래프에 대해 살펴보기로 하자.

• 자주색 : $y$축으로 $5$만큼 평행이동.
• 파란색 : $x$축으로 $7$만큼 평행이동.
• 녹색 : $x$축으로 $7$만큼 $y$축으로 $5$만큼 평행이동

이제 그래프를 이용해 관계식을 유도하는 과정에 대하여 정리해 보자.

$y=2x^2$의 평행이동그래프와 관계식

함수의 그래프 상의 좌표를 $(x,y)$라고 할 때 $x,y$ 사이 관계를 식으로 나타낸 것을 관계식이라고 한다.

$y$축으로 5만큼평행이동

$y=2x^2$을 $y$축으로 5만큼 평행이동 한 자주색 그래프의 관계식을 구해보자. 자주색 그래프 상의 한 점$(x,y)$에서 좌표 사이의 관계식을 구하기 위해 이미 알고 있는 관계식 $y=2x^2$을 이용하면 아래와 같은 식을 구할 수 있다.

• 자주색 그래프의 $y$좌표를 $x$값을 이용해 표현
  • [자주색 $y$] = [검은색 $y$] $+5$
  • [자주색 $y$] $=(2x^2)+5$
    $\therefore y=2x^2+5$

$x$축으로 7만큼평행이동

$y=2x^2$을 $x$축으로 7만큼 평행이동 한 파란색 그래프의 관계식을 구해보자. 파란색 그래프 상의 한 점$(x,y)$에서 좌표 사이의 관계식을 구하기 위해 이미 알고 있는 관계식 $y=2x^2$을 이용하자.

• 파란색 그래프의 $y$좌표를 $x$값을 이용해 표현
  • $y$값이 일정하도록, 파란색 $x$좌표를 검은색 그래프로 옮기면 $x-7$이 된다.
    [검은색 그래프 $(y=2x^2)$상에서 $x-7$의 함숫값] $=$ [파란색 그래프의 $x$좌표에 대한 함숫값]
  • [파란색 $y$] $=$ $2(x-7{)}^2$
    $\therefore y=2(x-7{)}^2$

$x$축으로 7만큼, $y$축으로 5만큼 평행이동

$y=2x^2$을 $x$축으로 7만큼 평행이동한 관계식은 파란색 그래프($y=2(x-7{)}^2$)이다. 이 함수를 다시 $y$축으로 5만큼 평행이동 하면 함숫값이 $+5$ 만큼 증가한다.

• 녹색 그래프의 $y$좌표값은 파란색 $y$값에 $5$를 더하면 된다.
  • [녹색 $y$] $=$ [파란색 $y$] $+5$
    $\therefore y=2(x-7{)}^2+5$

일반화 : $y=a{x}^2(a\ne 0)$

이제 생각을 일반화 시켜 $y=a{x}^2(a\ne 0)$을 평행이동 하는 방법에 대해 알아보자. 위의 과정에서 핵심적인 아이디어는 아래와 같다.

• 평행이동한 관계식은 알지 못하지만 $y=a{x}^2$의 관계식을 알고 있기 때문에 $y=a{x}^2$을 이용해 평행이동 관계식을 구한다.

$y=a{x}^2$을 $y$축으로 $q$만큼 평행이동

평행이동 전 함숫값 $y=a{x}^2$ 보다 $q$만큼 변화한 관계식을 생각할 수 있다.

• $y=a{x}^2+q$

$y=a{x}^2$을 $y$축으로 $p$만큼 평행이동

평행이동 전 관계식을 이용해 $y=a{x}^2$ 같은 $y$ 값을 갖는 식을 구하려면, $x$ 에서 역으로$-p$만큼 이동한 점에서 함숫값을 구하면 된다.

• $y=a(x-p{)}^2$

$y=a{x}^2$을 $x$축으로 $p$만큼 $y$ 축으로 $q$만큼 평행이동

$x$축으로 $p$ 만큼 평행이동 한 관계식의 $y=a(x-P{)}^2$의 함숫값 보다 $q$만큼 이동한다.

• $y=a(x-p{)}^2+q$

정리

학습지를 이용해 오늘 학습한 내용을 정리하면 아래와 같다. 학습지가 필요한 학생은 위의 학습목표의 링크를 통해 다운로드 하길 바란다.

$y=a{x}^2(a\ne 0)$의 평행이동 관계식

• $y=a{x}^2$ $y$축 $q$만큼 평행이동 : $y=a{x}^2+q$
• $y=a{x}^2$ $x$축 $p$만큼 평행이동 : $y=a(x-p{)}^2$
• $y=a{x}^2$ $x$축 $p$만큼 $y$축 $q$만큼 평행이동 : $y=a(x-p{)}^2+q$