이차방정식 개념, 풀이방법, 근의 공식 유도

이번 시간에는 이차방정식의 개념과 풀이방법, 근의공식 유도 과정에 대해 살펴보기로 하자. 이차방정식을 풀이하는 방법으로 인수분해, 완전제곱식, 근의공식 대해 다뤄 보도로고 하겠다.

학습목표

• 이차방정식의 개념을 정리하고, 이차방정식을 푸는 세가지 방법을 설명할 수 있다.
• 완전제곱식을 이용한 근의공식 유도 과정을 설명할 수 있다.

완전제곱식을 학습하지 않았다면 근의 공식과 관련된 내용을 이해할 수 없다. 학습이 필요한 학생은 아래의 링크를 참고해 주길 바란다.

• 완전제곱식의 성질과 조건

이차방정식의 정의 및 용어정리

정의

$x$에 대한 이차방정식이란 간단히 말해 이항을 통해 $(x에 대한 이차식)=0$ 꼴로 정리 할 수 있는 식이다. 이를 수식으로 나타내면 아래와 같다.

• $x$에 대한 이차방정식 : $ax^2+bx+c=0 \; (a\neq0)$

복습

• 항 : 문자 또는 숫자의 곱으로만 연결된 식
  항의 차수 : 항에 곱해진 문자의 개수
• 다항식 : 항 으로 구성된 식
  다항식의 차수 : 다항식의 항 중에서 가장 높은 차수
• 이차식 : 차수가 이차인 다항식

개념 확인 문제

다음 식이 이차방정식인지 확인하여라.

[문제1] $\;2x^2+x-1=2x(x-3)$

• $2x^2+x-1=2x(x-3)\\2x^2+x-1=2x^2-6x\\7x-1=0\\\therefore\;이차방정식이 아니다.$

[문제2] $\;\dfrac{1}{x}+3x-2=0$

• 잘못된 풀이 $\dfrac{1}{x}+3x-2=0\\3x^2-2x+1=0 \;\rightarrow\; (이차식)=0 꼴 \\\therefore\; 이차방정식이다.$
• 바른 풀이 : $\;\dfrac{1}{x}+3x-2$ 는 다항식이 아니다. ($\because\;\dfrac{1}{x}$ : 문자와 숫자의 나눗셈은 항이 아니다.) 따라서 주어진 식은 이차방정식이 아니다.

이차방정식 관련 개념 정리

• $ax^2+bx+c=0$ 이 이차방정식일 조건 : $a\neq0$
• 이차방정식의 해 : $ax^2+bx+c=0 \; (a\neq0)$이 참이 되게 하는 모든 $x$값
• $x=\alpha$가 $ax^2+bx+c=0 \; (a\neq0)$의 해 : $a\alpha^2+b\alpha+c=0$을 만족
• 이차방정식을 푼다 : 이차방정식의 해를 모두 구한다.

이차방정식의 풀이

유형1 : 인수분해 가능한 이차방정식

$(인수분해 가능항 이차식)=0$ 꼴이면 적당한 일차식 $A, B$를 이용해 $A\times B=0$로 표현 할 수 있고 다음 사실을 이용해 방정식을 해결 할 수 있다.

• $A\times B=0 \; \Leftrightarrow \; A=0 \; or \; B=0$

[문제] $2x^2+5x-3=0$을 풀어라.

• $2x^2+5x-3=0\\(2x-1)(x+3)=0\\2x-1=0\;또는\; x+3=0\\\therefore \; x=\dfrac{1}{2} \;또는\; x=-3$

유형2 : $a(x+p)^2=q \; (a\neq 0)$ 풀이

이번에는 완전제곱식과 상수로 표현된 이차방정식을 풀이하는 방법에 대해 알아보기로 하자. 이번에는 문제를 먼저 풀어보고 일반적인 풀이방법에 대해 정리해 보기로 하자.

• 완전제곱 형태 : $x^2 \; ax^2 \; (x+P)^2 \; a(x+p)^2$

[문제] 다음 이차방정식을 풀어라.

• $x^2=3 \; \rightarrow \; x=\pm \sqrt{3}$
• $3x^2=5 \; \rightarrow \; x=\pm \sqrt{\dfrac{5}{3}}$
• $(x-2)^2=3 \; \rightarrow \; x-2=\pm\sqrt{3} \; \rightarrow \; x=2\pm \sqrt{3}$
• $2(x-3)^2=3 \; \rightarrow \; x-3=\pm\sqrt{\dfrac{3}{2}} \; \rightarrow \; x=3\pm\sqrt{\dfrac{3}{2}}$

일반화 $a(x+p)^2=q \; (a\neq 0)$ 풀이

문제를 통해 얻은 사실을 토대로 일반적인 완전제곱식에 대한 풀이를 정리하고, 수학적 의미를 찾아보자.

• $a(x+p)^2=q \\ \rightarrow (x+p)^2=k 꼴로 변형 \\ \rightarrow (x+p)=(k의 제곱근) \\ \rightarrow x=-p + (k의 제곱근)$

완전제곱식을 이용하여 방정식을 풀이한 결과 실근의 개수는 $k의 제곱근$의 개수와 같다는 것을 알 수 있다. 제곱근의 개수에 따라 근의 개수를 정리하면 다음과 같은 결론을 얻을 수 있다.

• $k>0$ : 실근 2개
• $k=0$ : 실근 1개
• $k<0$ : 실근 0개

유형3 : $ax^2+bx+c=0 \; (a\neq0)$ 풀이

인수분해 여부와 관계없이 이차방정식 $ax^2+bx+c=0 \; (a\neq0)$ 을 풀이할 수 있는 방법은 근의공식을 이용하는 것이다.

• $ax^2+bx+c=0 \; (a\neq0) \;\; (단\;,\; b^2-4ac \geq 0\;)$

이제 위의 근의 공식을 유도하는 과정에 대해 설명하도록 하겠다. 문자를 이용하여 바로 정리하면 이해하기 어려울 수 있어 예제를 먼저 다루고 문자를 이용해 근의 공식을 유도해 보기로 하자.

예제 $4x^2-8x+1=0$ 풀이

방정식자체를 변형하여 풀이하는 방법도 있지만, 풀이 과정을 다음 두 단계로 변형하는 것이 수학적으로 더 유용하다.

$a^2+bx+c \; \rightarrow \; (완전제곱식)+(상수)$

1단계 과정은 이차식을 완전제곱식으로 만드는 방법에 대한 것으로 이차함수, 원의 방정식, 이차곡선의 식변형에서 핵심이 된다.

• $4x^2-8x+1$
  $=4(x^2-2x)+1$
  $=4(x^2-2x+k)+1-4 \times k \; \; (\bigstar)$
  $=4(x^2-2x+1)+1-4\times 1$
  $=4(x-1)^2-3$

$\bigstar$일반적인 이차식에 대하여 $b^2=4ac$를 만족하면 완전제곱식이 된다. $a=1$인 경우에는 $c=\left(\dfrac{b}{2}\right)^2$를 만족하도록 상수항을 구성하면 완전제곱식을 만들수 있다. 따라서 $k=\left( \dfrac {-2} {2} \right)^2=1$일 때 괄호안이 완전제곱식이 된다.

$ax^2+bx+c=0\;\rightarrow\; (완전제곱식\;)=(상수\;)$

2단계 과정은 방정식의 이차식부분을 완전제곱식과 상수로 변형하여 [방법2]의 풀이를 적용한다.

• $4x^2-8x+1=0$
  $\rightarrow 4(x-1)^2=3$
  $\rightarrow (x-1)^2=\dfrac{3}{4}$
  $\rightarrow x-1=\pm \sqrt {\dfrac{3}{4}}$
  $\rightarrow x=1\pm \dfrac{\sqrt{3}}{2}$

근의 공식 유도 과정

이차방정식 $ax^2+bx+c=0 \; (a\neq0)$ 근의 공식 유도 과정에 대해 살펴보기로 하자.

$a^2+bx+c \; \rightarrow \; (완전제곱식\;)+(상수\;)$

• $ax^2+bx+c$
  $= a\left(x^2+\dfrac{b}{a} x + k\right) +c -a\times k$
  $= a\left(x^2+\dfrac{b}{a}x + \left(\dfrac{b}{2a}\right)^2 \right)+c-4\times \left(\dfrac{b}{2a}\right)^2$
  $\;\;\;\;\; \because k= \left(\dfrac{b}{a} 의\; 절반\;\right)^2$
  $=a\left(x+\dfrac{b}{2a} \right)^2-\dfrac {b^2-4ac}{4a} \; \rightarrow\; 완전제곱식 + 상수$

$(완전제곱식\;)=(상수\;) \; \rightarrow \; 유형\;2$

• $a\left(x+\dfrac{b}{2a} \right)^2=\dfrac {b^2-4ac}{4a}$
  $\left(x+\dfrac{b}{2a} \right)^2=\dfrac {b^2-4ac}{4a^2}$

근의 공식을 유도하기 위한 다음 과정은 제곱근의 정의를 이용해 식을 정리하는 것이다. 이 과정에서 $\dfrac {b^2-4ac}{4a^2}$의 제곱근 개수가 실근의 개수를 결정하고 이를 정리하면 아래와 같다.

실근의 개수

방법2의 제곱근을 이용한 이차방정식 풀이에서는 제곱근의 개수가 실근의 개수를 결정한다는 것을 학습하였다. 위의 식에 이를 적용하면 다음과 같은 결론을 얻을 수 있다.

• $\dfrac {b^2-4ac}{4a^2}$ 의 부호 $\;\rightarrow\;$ 제곱근 개수$\;\rightarrow\;$ 실근의 개수

이를 정리하면 아래와 같다.

• $b^2-4ac>0\;\rightarrow\; 제곱근\;개수\;:2개\;\rightarrow\; 실근의\;개수\;:\;2개$
• $b^2-4ac=0\;\rightarrow\; 제곱근\;개수\;:1개\;\rightarrow\; 실근의\;개수\;:\;1개$
• $b^2-4ac<0\;\rightarrow\; 제곱근\;개수\;:0개\;\rightarrow\; 실근의\;개수\;:\;0개$

근의 공식 유도 마무리

$b^2-4ac\geq 0$일 때 실근이 존재하고 실근은 아래와 같이 구할 수 있다.

• $\left(x+\dfrac{b}{2a} \right)^2=\dfrac {b^2-4ac}{4a^2}$
  $x+\dfrac{b}{2a} =\pm \sqrt{\dfrac {b^2-4ac}{4a^2}}$
  $ \bigstar (우변\;)= \pm \dfrac{\sqrt{b^2-4ac}}{\left|2a\right|}=\pm \dfrac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

마지막 과정에서 우변의 분모 $\sqrt{4a^2}$을 처리하는 과정에서 제곱 루트대신 절댓값을 사용하였고, $\pm$부호에 의해 절댓값을 생략할 수 있음을 확실히 이해할 필요가 있다.

• $x+\dfrac{b}{2a}=\pm \dfrac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$
  $x=-\dfrac{b}{2a}\pm \dfrac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$
  $\therefore x=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a} \;\; (\bigstar 근의공식\; \bigstar)$

정리

• 이차방정식의 정의 : $ax^2+bx+c=0 \; (a\neq0)$
• 이차방정식의 풀이방법 세가지
  인수분해, 완전제곱식, 근의공식
• 근의 공식
  $$x=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$$

더 많은 이차방정식에 대한 정보가 필요하다면 다음 링크를 참고하자. ( 이차방정식 , 출처 : 위키백과)