이번 시간에는 이등변삼각형의 성질에 대한 중학교 내용을 논리적으로 정리해 보려고 한다. 앞으로 수학학습에서 이등변삼각형을 수 없이 많이 접하게 될 것이다. 그 때마다 이등변삼각형의 성질에 대한 논리는 사고를 심화하는 기초가 된다. 따라서 중학교 3학년 수준의 학생이라면 이등변삼각형의 성질을 논리적으로 설명할 수 있어야 한다.
개요
학습목표
- 이등변삼각형의 정의를 이용해 기본성질을 논리적으로 설명할 수 있다.
- 이등변삼각형의 성질을 이용하여 동일한 의미로 사용되는 사실을 논리적으로 증명할 수 있다.
- 간단한 증명에서 귀류법적 사고를 익히고 고등학교에서 사용할 수학적 논리 토대를 세운다.
학습지 다운로드
글로 읽으면서 정리하기 힘들기에 아래에 수업시간에 사용했던 학습지를 첨부하였다. 필기하면서 내용을 따라오길 바란다.
이등변삼각형 정의
정의
$\triangle{ABC}$에 대하여$\overline{AB}=\overline{AB}$인 삼각형을 이등변삼각형이라고 한다.
기본 성질
$\triangle{ABC}$에 대하여 다음이 성립한다.
- $\triangle{ABC}$가 이등변 삼각형이면 $\angle{B}=\angle{C}$이다.
- $\angle{B}=\angle{C}$이면 $\triangle{ABC}$ 이등변삼각형이다.
위와 같은 문장을 명제라고 하고 수식으로 나타내면 다음과 같다.
- $\overline{AB}=\overline{AC}\rightarrow\angle{B}=\angle{C}$
- $\angle{B}=\angle{C}\rightarrow\overline{AB}=\overline{AC}$
위의 사실이 참으로 확인 되면 화살표 모양을 바꿔서 아래와 같이 표현한다.
- $\overline{AB}=\overline{AC}\Rightarrow\angle{B}=\angle{C}$
- $\angle{B}=\angle{C}\Rightarrow\overline{AB}=\overline{AC}$
논리
한 쪽만 보이지 않고 양쪽 방향을 모두 보인 이유는 무엇일까? 당연한 말이지만 반대쪽도 맞다는 것을 보이기 위함이다. 한쪽이 성립했으니 반대도 당연히 성립한다는 식의 말도 안되는 사고는 절대로 절대로 하지 말아야 한다. 이해하기 쉽게 예를 들어보자.
수학중학교 3학년 1반 1번 남학생 강수학이란 학생이 있다고 하자.
강수학은 남학생이다 하지만 남학생이라고 해서 강수학인 것은 아니다. 후자가 성립하지 않는 이유는 남학생에서 강수학으로 가는 사고과정에 오류가 있기 때문이다. 남학생의 범주가 강수학 한 명으로 좁혀지면서 조건부의 성질이 누락되어 오류가 발생했다. 수학적 사고는 조건보다 좁은 방향으로 절대 나갈 수 없음을 잊지 말자.
절대로 오류가 발생하지 않는 사고는 주어진 조건과 일치하거나 더 확장된 결과로 향하는 사고이다. 수학의 사고는 반드시 이와 같은 방향으로만 진행된다. 즉 수학으로는 주어진 조건보다 더 특수한 결론을 내릴 수 없다.
동치
논리학에서 두 문장이 서로 같게 되는 경우 두 문장을 동치라고 한다. $\triangle{ABC}$에 대하여 $\overline{AB}=\overline{AC}$인 것과 $\angle{B}=\angle{C}$임은 동치라고 할 수 있다. 기호로는 다음과 같이 나타낸다.
- $\overline{AB}=\overline{AC}\Leftrightarrow\angle{B}=\angle{C}$
이등변삼각형의 성질
이등변삼각형의 꼭지각에서 밑변에 내린 수선과 동치인 명제에 대해 살펴보기로 하자. 이 내용은 중학교 1학년 삼각형의 합동조건에서 다루는 내용이다. 하지만 논증이 어려운 1학년 시기에 전체를 증명 할 수 없기에 일부만 정당화하고 나머지 사실은 직관적으로 받아들이고 넘어간다. 중학교 2학년에서 사각형의 성질 단원에서 논증을 배운 학생들은 다시 이등변삼각형의 성질로 돌아가 이를 논리적으로 정리할 필요가 있다.
동일한 의미로 사용되는 용어
$\overline{AB}=\overline{AC}$인 $\triangle{ABC}$에 대하여 다음은 동일한 용어이다.
- A에서 $\overline{BC}$에 내린 수선
- $\overline{BC}$의 수직이등분선
- A에서 $\overline{BC}$의 중점을 연결한 중선
- $\angle{A}$의 이등분선
이들이 모두 같음을 보이기 위해 1→2→3→4→1이 참이 됨을 보이면 충분하다.
귀류법
두 번째 증명에 사용된 귀류법에 대해 살펴보자. 귀류법이란 조건을 모두 인정한 상태에서 결론을 정반대로 바꾸면 말도 안됨을 보이고, 바꾸기전 결론이 맞다고 주장하는 논리이다. 위의 증명에 적용해 보면 $\overline{BC}$의 수직 이등분선이 $l$임을 인정하고 결론에 해당하는 ‘A를 지난다’를 반대로 부정해 지나지 않는다는 조건으로 바꾸었다. 그리고 첫 번째 증명에서 보인 수선이 중점을 지난다는 사실도 조건으로 가지고 와서 평각이 180도보다 크다는 말도 안되는 상황을 연출하였다.
귀류법을 사용하는 이유
왜 귀류법을 사용하는 것일까? 수학적 사실을 증명할 때 알고 있는 조건(사실)이 많으면 증명이 수월해 진다. 하지만, 증명 과정에 결론을 가지고 와서 조건으로 사용하는 것은 절대로 절대로 안될 일이다. 이 때 귀류법을 사용한다면, 결론을 부정한 조건 하나를 더 사용할 수 있게 된다. 이것이 귀류법의 힘이다. 귀류법은 주로 언제 사용할까? 귀류법은 결론이 너무 당연해 보이는데 직접 증명은 잘 안될 때 자주 사용한다. 왜냐면 당연한 결론을 부정하면 모순을 이끌어내기 쉽기 때문이다.
정리
이등변삼각형을 정의에서 성질을 이끌어내는 과정을 논리적으로 정리해 보았다. 수학적인 사고능력을 기르기 위해서는 수학에서 어떤 사고를 주로 사용하는지 확실히 알아야 한다. 이 글에 수학적 사고를 이해하기 쉽게 잘 설명해 두었다. 수학적 사고과정을 익혀 논리적으로 완벽한 사고를 구상할 수 있길 바란다.