이번시간에는 접선의 성질에 대하여 살펴보려고 한다. 먼저 원 밖의 한 점에서 그은 접선과 점과 직선 사이의 거리에 대한 설명을 통해 중학교 수학의 논증과 증명 능력을 향상시켜 보도록하자. 다음으로 접선의 길이가 수선의 발에서 최단거리가 되는 이유를 논리적으로 설명하고, 원의 접선의 성질에 대한 내용을 정리하자. 마지막으로 원에 외접하는 삼각형과 사각형의 성질에 대해 살펴보고, 듀란드의 문제에 대한 개념도 소개하여 중학교 수학 학습의 깊이를 더해보자.
개요
학습목표
중학교 1, 2 학년때 배운 개념을 정확히 다시 정리하고 원과 접선에 관련된 수학적 사실을 논리적으로 정리해 보려고 한다.
- 접선이 반지름과 수직임을 논리적으로 설명할 수 있다.
- 직각삼각형의 합동조건을 이용해 접선의 길이가 같음을 보일 수 있다.
학습지를 바로 아래 링크에 첨부하였으니 다운받아 이용하길 바란다. 전 시간에 사용한 현의 성질 학습지를 가지고 있는 학생은 따로 다운 받지 않고 동일한 학습지를 사용하면 된다.
점과 직선사이의 거리
점과 직선 사이의 거리는 직선 위에 있는 임의의 점에서 해당 직선까지의 가장 짧은 거리를 나타낸다. 이 거리를 구할 때 수직선을 해당 점에서 직선까지 그려 직선과 수직하게 만나는 점을 찾고, 그 점 에서의 거리를 계산한다고 배웠다. 이는 수선의 발까지 거리가 최단거리가 된다는 것인데 이를 논리적으로 설명해 보기로 하자.
수선의 길이가 최단거리가 되는 것을 증명하는 과정은 순조롭게 증명할 수 있다. 반대로 최단거리가 수선의 발이 됨을 보이는 과정은 순조롭지 않다. 이 사실이 너무 당연하기 때문에 수선의 길이와 최단거리사이에 순환논리의 오류가 발생하기 때문이다. 이런 상황에서 사용할 수 있는 것이 귀류법이다. 가정을 부정하여 수선의 발이 아닌 다른 점을 연결한 선분을 최단거리라고 하면, 그 즉시 말도 안되는 상황에 빠지게 되고 따라서 수선의 길이가 최단거리 임을 밝힐 수 있다. 이를 정리하면 다음과 같고 둘은 동치관계이므로 앞으로 동일한 의미로 사용하자.
직선 $l$과 직선 위의 한 점 $P$, 그리고 직선 밖의 한 점 $A$, $A$에서 $l$에 내린 수선의 발 $H$에 대하여.
- $\overline{AP}$ 최단거리 $\Leftrightarrow$ $\overline{AH}$
원과 접선
위에서 정리한 내용을 토대로 원의 접선에 대한 내용도 다시 정리해 보기로 하자.
원 $O$와 직선$l$이 한 점 $A$에서 만날 때 $O$에서 $l$까지의 최단거리는 $\overline{OA}$ 이다. 따라서 위에 제시된 동치명제에 따라 $\overline{OA}\perp{l}$ 이다.
접선의 성질
이제 본론으로 들어가 원 밖의 한 점에서 그은 접선의 길이에 대한 성질을 살펴보고, 원에 외접하는 삼각형과 사각형에서 이 성질을 적용해 새로운 수학적 사실에 대해 학습해 보기로하자. 마지막으로 듀란드의 문제를 통해 수학적 깊이를 더하고 학습을 마무리 하도록 하자.
원 밖의 한 점에서 그은 접선의 길이
삼각형의 내심을 배우면서 원 밖의 한 점에서 그린 두 접선의 길이는 같음을 다루었을 것이다. 원 밖의 한점에서 그은 접선의 길이에 대한 성질도 비슷하게 증명가능 하므로 아래의 상황에 대해 증명하는 방법만 언급하고 다음으로 넘어가도록 하자.
삼각형의 내접원
원에 외접하는 삼각형에 접선의 길이에 대한 성질을 적용하면 다음과 같은 사실을 알 수 있다. 또한 원 밖의 한 점에서 그은 두 접선이 수직일 때 접선과 반지름으로 이루어지는 $\square{APBO}$는 정사각형이 되고, 직각삼각형의 내접원에 이를 적용하면 사각형 $\square{IECF}$ 는 정사각형이 됨을 알 수 있다.
사각형의 내접원
원에 외접하는 사각형에 접선의 성질을 적용하여 아래의 사실을 확인해 보자.
- $\square{ABCD}$가 원에 외접하면 $\overline{AB}+\overline{CD}=\overline{BC}+\overline{AD}$ 이다.
위의 사실을 수학적으로 정리하면 다음과 같다.
$\square{ABCD}$ 에 대하여 다음이 성립한다.
- 원에 외접한다. $\Rightarrow$ 마주 보는 변의 길이 합이 같다.
듀란드의 문제
위의 명제를 반대로 하면 “$\square{ABCD}$ 에 대하여 마주보는 변의 길이 합이 같으면 사각형은 원에 외접한다.”이다. 이 명제는 듀란드의 문제로 알려져 있고 참이라고 알려졌다. 이를 증명하는 과정을 통해 수학적 사고력을 한 단계 끌어올려보자.
외접사각형 필요충분조건
$\square{ABCD}$ 에 대하여 다음이 성립한다.
- 원에 외접한다. $\Leftrightarrow$ 마주 보는 변의 길이 합이 같다.
정리
이러한 논증과 증명의 과정을 통해 수학 학습은 보다 깊고 의미 있는 학문이 된다. 중학교 수학에서 배운 이러한 개념과 논리는 고등학교 수학과 미래의 학문 과정에서 중요한 기반을 제공할 것이다. 앞으로도 수학을 통해 논리적 사고와 문제 해결 능력을 계속 키워가며, 더욱 흥미로운 개념과 도전을 해 나가길 바란다.
- 원과 접선의 성질
- 원 밖의 한 점에서 원에 그은 접선의 개수 : 2개
- 원 밖의 한 점에서 원에 그은 두 접선의 길이는 같다.
- 원에 외접하는 사각형의 성질
- 서로 마주보는 대변의 길이 합이 같다.
- 사각형이 원에 외접할 조건
- 대변의 길이 합이 같다.