미지수가 두 개인 일차방정식은 중학교 수학에서 기본이 되는 중요한 단원 중 하나입니다. 두 미지수에 대한 일차식의 구조와 해를 구하는 방법, 그리고 자연수 조건이 있는 경우의 풀이 과정을 예시와 함께 정리하였습니다. 아래 내용을 통해 미지수가 2개인 일차방정식과 연립일차방정식에 대한 개념을 정확히 이해하길 바랍니다.
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목차
미지수가 2개인 일차방정식
미지수가 두 개인 일차방정식이란, 미지수가 2개이고 두 미지수에 대한 차수가 모두 일차인 방정식을 의미합니다. 일반적으로 두 미지수는 $x\;y$로 나타내고 관련된 용어를 정리하면 다음과 같습니다.
용어가 익숙하지 않다면 다항식 용어 복습, 방정식에 대한 개념이 기억나지 않는다면 일차방정식을 복습하고 학습하길 바랍니다.
미지수가 $x,\;y$인 일차방정식
- 미지수가 2개인 일차방정식의 일반형
$ax+by+c=0$ (단, $a, b, c$: 상수, $a\neq0,\;b\neq0$)- 미지수가 2개 이므로 $a\neq0,\;b\neq0$인 조건이 필요합니다.
- 예시: $3x-y+4=0$, $x-3y-3=0$
- 미지수가 2개인 일차방정식의 해
- 미지수가 $x,\;y$인 일차방정식이 참이 되게 하는 값 또는 그 순서쌍
- 해의 표현: $x=\square,\; y=\triangle$또는 $(\square,\triangle)$
- 일차방정식을 푼다: 일차방정식의 해를 모두 구한다.
미지수가 두 개인 일차방정식 예시
미지수가 두 개인 일차방정식 $3x-y+4=0$을 풀어 봅시다.
$y$에 대해 정리해 보면 $y=3x+4$이고, $x=\cdots,1,2,3,\cdots$을 대입하여 정리하면 해 $(x,y)$는 다음과 같습니다.
- $\cdots\;,(1,7)$, $(2,10)$, $(3,13),\;\cdots$
$y$의 조건이 없으므로 정수 뿐 아니라 유리수 전체에 대해 $x$ 값과 순서쌍을 생각할 수 있습니다. 따라서 주어진 방정식의 해는 무수히 많습니다. 이렇게 해가 무수히 많은 방정식을 부정방정식 이라합니다.
- 부정방정식: 해가 무수히 많아 해를 결정지을 수 없는 방정식
범위가 주어진 경우
미지수가 2개인 연립일차방정식은 부정방정식 이지만, 다음과 같이 특정 숫자로 범위가 주어진 경우 해가 유한한 경우가 있음을 기억합시다.
$x,\;y$가 자연수인 일차방정식 $2x+y=8$을 풀어봅시다.
자연수 조건이 있으므로 $x=1, 2, 3, 4\cdots$을 대입하고 $y=8-2x$를 이용해 $y$값을 계산하면 구하려는 해는 다음과 같습니다.
- 해: $(1,6),\;(2,4),\;(3,2)$
- $(4,0)$은 $y$값이 자연수가 아니므로 해에 포함되지 않습니다.
미지수가 2개인 연립일차방정식
미지수가 2개인 연립일차방정식은 미지수가 2개인 일차방정식 2개를 한 쌍으로 묶어 나란히 나타낸 것을 의미합니다. 일반적으로 두 미지수는 $x,\;y$로 나타내고 관련된 내용을 정리하면 다음과 같습니다.
미지수가 $x,\;y$인 연립일차방정식
- 연립방정식의 일반형
$\begin{cases}ax+by+c=0\\
a’x+b’y+c’=0\end{cases}$
단, $a,b,c,a’,b’,c’$: 상수, $a\neq0,\;b\neq0,\;a’\neq0,\;b’\neq0$- 예시: $\begin{cases} x+y=1\\x-y=3\end{cases}$ , $\begin{cases} 2x-4y=-8\\2x+9y=5\end{cases}$
- 연립방정식의 해
- 두 일차방정식을 동시에 만족하는 $x,\;y$값 또는 그 순서쌍
- 해의 표현: $x=\square,\; y=\triangle$또는 $(\square,\triangle)$
- 연립방정식을 푼다: 연립방정식의 해를 모두 구한다.
미지수가 두 개인 연립일차방정식 풀이
$x,\;y$가 자연수인 연립일차방정식 $\begin{cases}x+y=5\\2x+y=6\end{cases}$을 풀어라.
- $x+y=5$의 풀이
- 자연수 조건이 있으므로 $x=1, 2, 3, 4\cdots$을 대입하고 $y=5-x$를 이용해 $y$값을 구하면 다음과 같습니다.
- $\bbox[#ffff00]{(1,4)},\;(2,3),\;(3,2),\;(4,1)$
- $2x+y=6$의 풀이
- $y=-2x+6$에 자연수 $x=1, 2, 3, 4\cdots$를 대입하여 해를 구하면
- $\bbox[#ffff00]{(1,4)},\;(2,2)$
따라서 주어진 연립일차방정식의 해는 $\bbox[#ffff00]{(1,4)}$, 또는 $x=1,\;y=4$입니다.
제한점
위와 같은 풀이는 문자의 범위가 제한된 조건에서 가능한 풀이이고 비효율적인 풀이입니다.
- $x,\;y$ 범위가 자연수로 제한된 상황에서 가능한 풀이
- 대입을 통해 하나씩 살펴봐야 하므로 비효율적
마무리
미지수가 2개인 일차방정식과 연립일차방정식은 문제의 조건을 파악하고 규칙에 맞게 풀이하면 어렵지 않게 해결할 수 있습니다. 개념을 익히고 다양한 유형의 문제를 반복적으로 풀어보는 것이 중요합니다. 더 많은 예제 풀이와 개념 설명이 필요한 경우, 관련 강의를 참고하여 학습을 이어가면 효과적입니다.
