연립일차방정식은 두 개 이상의 미지수를 포함하는 두 일차방정식을 동시에 만족하는 해를 구하는 수학적 방법입니다. 특히 대입법과 가감법은 가장 기본적이면서도 강력한 연립방정식 풀이 방법입니다. 하지만 방정식이 복잡하거나 괄호, 분수, 소수 등이 포함되면 학생들이 어려움을 느끼기 쉽습니다.
이번 글에서는 대입법과 가감법의 원리를 쉽게 정리하고, 복잡한 연립방정식 문제까지 단계별 풀이 방법을 예시와 함께 자세히 안내합니다. 문제 풀이 흐름을 정확히 익히고 다양한 유형의 연립방정식을 자신있게 해결해 보세요.
목차
복습: 미지수가 두 개인 연립일차방정식
먼저 이전 시간에 배운 연립일차방정식의 풀이에 대해 살펴보고 더 효율적이고 일반적인 방법에 대해 학습해 봅시다.
$x,\;y$가 자연수인 연립일차방정식 $\begin{cases}x+y=5\\2x+y=6\end{cases}$을 풀어라.
- $x+y=5$의 풀이
- 자연수 조건이 있으므로 $x=1, 2, 3, 4\cdots$을 대입하고 $y=5-x$를 이용해 $y$값을 구하면 다음과 같습니다.
- $(1,4),\;(2,3),\;(3,2),\;\bbox[#ffff00]{(4,1)}$
- $x+2y=6$의 풀이
- 자연수 조건이 있으므로 $y=1, 2, 3, 4\cdots$을 대입하고 $x=6-2y$를 이용해 $x$값을 구하면 다음과 같습니다.
- $\bbox[#ffff00]{(4,1)},\;(2,2)$
따라서 주어진 연립일차방정식의 해는 $\bbox[#ffff00]{(4,1)}$, 또는 $x=4,\;y=1$입니다.
미지수가 2개인 일차방정식과 연립일차방정식에 대해 생소한 학생은 먼저 다음 링크를 통해 복습하고 학습을 이어가시길 바랍니다.
예시의 문제처럼 해를 구하는 것은 제한적이고 비효율적인 풀이입니다.
- $x,\;y$ 범위가 자연수로 제한된 상황에서 가능한 풀이
- 대입을 통해 하나씩 살펴봐야 하므로 비효율적
미지수의 범위가 주어지지 않은 경우에 적용할 수 있는 효율적인 풀이 방법인 대입법, 가감법에 대해 살펴봅시다.
대입법
- 대입법: 한 방정식을 다른 방정식에 대입하여 연립방정식의 해를 구하는 방법
대입법을 이용한 연립방정식 풀이
$x,\;y$에 대한 연립방정식 풀이는 다음과 같습니다.
- 방법1
- 하나의 식을 $x=(y \text{에 대한식})$으로 변형한다.
- 다른 식의 $x$자리에 대입 $\rightarrow$ $y$에 대한 방정식을 푼다.
- $y$에 대한 방정식의 해 $\rightarrow$ $x=(y \text{에 대한식})$에 대입한다.
- 방법2
- 하나의 식을 $y=(x \text{에 대한식})$으로 변형한다.
- 다른 식의 $y$자리에 대입 $\rightarrow$ $x$에 대한 방정식을 푼다.
- $x$에 대한 방정식의 해 $\rightarrow$ $y=(x \text{에 대한식})$에 대입한다.
대입법을 이용한 연립일차방정식 풀이
대입법을 이용하여 $\begin{cases}x=3y-1\cdots( ㄱ)\\2x-3y=4\cdots(ㄴ)\end{cases}$를 풀어봅시다.
$(ㄱ)\xrightarrow[]{\text{대입}} (ㄴ)$: $2(3y-1)-3y=4$
위의 방정식을 풀면, $y=2$가 해이고, $y=2$를 (ㄱ)에 대입하면 $x=5$입니다.
따라서 해는 $\therefore\; x=5,\;y=2$
가감법
- 가감법: 두 방정식의 변끼리 더하거나 빼서 미지수 하나를 소거하여 연립일차방정식의 해를 구하는 방법
가감법을 이용한 연립방정식 풀이
- 소거할 미지수를 결정한다.
- 두 등식(방정식)의 양변에 적당한 수를 곱해 두 등식의 소거할 미지수의 계수의 절댓값이 같게 한다.
- 두 방정식의 좌변과 우변을 끼리끼리 빼거나 더해 미지수를 소거하여 새로운 방정식을 세운다.
- 새로운 방정식의 해를 구하고, 소거된 미지수의 값을 구한다.
가감법을 이용한 연립일차방정식 풀이
가감법을 이용하여 $\begin{cases}3x-2y=5\cdots( ㄱ)\\2x-y=3\cdots(ㄴ)\end{cases}$를 풀어 봅시다.
두 방정식을$ㄱ\times2$, $ㄴ\times3$으로 변형하여 $x$의 계수를 6으로 맞추면 $x$를 소거 할 수 있습니다.
$\begin{align}&\;6x-4y=10\cdots( ㄱ\times2)\\
-&\underline{)6x-3y=9}\cdots(ㄴ\times3)\\
&\;\;0x-y=1
\end{align}$ $\therefore\;y=-1$
(ㄱ)에 $y=-1$을 대입하면 $3x+2=5$인 방정식을 얻을 수 있고 이 방정식을 풀면 $x=1$입니다. 따라서 해는 $x=1,\;y=-1$ 입니다.
복잡한 연립방정식 풀이
괄호가 있는 연립방정식
- 괄호가 있는 연립방정식의 경우 괄호를 전개하여 동류항끼리 정리하여 풀면 됩니다.
다음 연립방정식을 풀어봅시다.
$\begin{cases}4(x-2)-3(y+5)=-2\cdots(ㄱ)\\2(x+y)-3y=9\cdots(ㄴ)\end{cases}$
주어진 식의 괄호를 풀어 정리하면 다음과 같습니다.
(ㄱ): $4x-8-3y-15=-2$ $\rightarrow$ $4x-3y=21$
(ㄴ): $2x+2y-3y=9$ $\rightarrow$ $2x-y=9$
( ㄴ)으로 부터 $\bbox[#ffff00]{y=2x-9}$이고 이를 (ㄱ)에 대입하여 풀면 다음과 같습니다.
$4x-3(2x-9)=21$ $\rightarrow$ $\therefore \; x=3$
$\bbox[#ffff00]{y=2x-9}$에 $x=3$을 대입하면 $y=-3$입니다.
따라서 연립방정식의 해는 $x=3,\;y=-3$
계수가 분수인 연립방정식
- 계수가 분수이면 양변에 분모의 최소공배수를 곱하여(등식의 성질) 계수를 정수로 만들어 풀이합니다.
다음 연립방정식을 풀어봅시다.
$\begin{cases}\dfrac{x}{3}+\dfrac{y}{2}=1 \cdots(ㄱ) \\ \dfrac{x}{4}+\dfrac{y}{3}=\dfrac{5}{6}\cdots(ㄴ) \end{cases}$
$(ㄱ)\times6$: $2x+3y=6$
$(ㄴ)\times12$: $3x+4y=10$
$\begin{cases} 2x+3y=6 \cdots(ㄷ) \\3x+4y=10 \cdots(ㄹ) \end{cases}$
$ㄷ\times3$, $ㄹ\times2$으로 변형하여 $x$의 계수를 6으로 맞추면 $x$를 소거 할 수 있습니다.
$\begin{align}&\;6x+9y=18\cdots( ㄷ\times3)\\
-&\underline{)6x+8y=20}\cdots(ㄹ\times2)\\
&\;\;0x+y=-2
\end{align}$ $\therefore\;y=-2$
(ㄷ)에 $y=-2$을 대입하면 $6x-18=18$인 방정식을 얻을 수 있고 이 방정식을 풀면 $\therefore\; x=6$입니다. 따라서 해는 $x=6,\;y=-2$ 또는 $(6,-2)$ 입니다.
계수가 소수인 연립방정식
- 계수가 소수이면 양변에 10의 거듭제곱을 곱하여 계수를 정수로 고친 후 풀이 합니다.
다음 연립방정식을 풀어봅시다.
$\begin{cases}0.4x-0.5y=-0.3 \cdots(ㄱ) \\ -0.03x+0.04x=0.02\cdots(ㄴ) \end{cases}$
$(ㄱ)\times10$: $4x-5y=-3$
$(ㄴ)\times100$: $-3x+4y=2$
$\begin{cases}4x-5y=-3 \cdots(ㄷ) \\ -3x+4x=2\cdots(ㄹ) \end{cases}$
$\begin{align}&\quad\;\;12x-15y=-9\cdots( ㄷ\times3)\\
+&\underline{)-12x+16y=\;\;8}\cdots(ㄹ\times4)\\
&\quad\quad0x+y=-2
\end{align}$ $\therefore\;y=-1$
(ㄱ)을 변형하면 $4x=5y-3$이고 $y=-1$을 대입하면 $\therefore\; x=-2$임을 알 수 있습니다. 따라서 해는 $x=-2,\;y=-1$ 또는 $(-2,-1)$ 입니다.
$A=B=C$ 꼴의 연립방정식
$A=B=C$꼴의 연립방정식은 다음과 세 연립방정식 중 하나로 변형하여 풀이합니다.
$\begin{cases}A=B\\A=C \end{cases}$ , $\begin{cases}A=B\\B=C \end{cases}$ , $\begin{cases}A=C\\B=C \end{cases}$
$2x-3y=3x-2y=10$을 풀어봅시다.
$\begin{cases}2x-3y=3x-2y \cdots(ㄱ) \\ 3x-2y=10\cdots(ㄴ) \end{cases}$
(ㄱ)을 변형하면 $ x=-y$ 이고, 이를 (ㄴ)에 대입하여 식을 정리하면 다음과 같습니다.
$(ㄱ)\xrightarrow[]{x=-y\;\text{대입}}(ㄴ)$: $-3y-2y=10$ , $\therefore\;y=-2$
$y=-2$를 (ㄴ)식에 대입하여 정리하면 $3x+4=10$이고, $x=2$입니다. 따라서 해는 $(2,-2)$입니다.
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