연립방정식의 해의 개수 공식 증명

연립방정식을 풀 때마다 계산하고 가감법을 사용해야 해서 귀찮으셨죠? 사실, 해의 개수는 복잡하게 계산하지 않아도 수식만 보고 바로 답을 알 수 있는 간단한 방법이 있습니다. 이 글에서는 ax=b 꼴 방정식의 성질부터 연립방정식 해 판별 공식까지 모든 과정을 쉽게 정리했습니다. 이 공식을 알면 ‘해가 1개인지, 무수히 많은지, 아니면 아예 없는지’를 순식간에 구분할 수 있어 문제 풀이 속도가 확 달라집니다.

단순히 암기하는 것이 아니라, 원리를 이해하며 수식이 자연스럽게 머리에 들어오게 하고 싶다면 끝까지 읽어보세요. 수학 문제를 바라보는 시각이 완전히 달라질 것입니다.

ax=b꼴 방정식

먼저 $a \times x=b$꼴 방정식의 해에 대해 정리해 봅시다.

1. $a\neq0$ 경우 (일차방정식 : 해가 1개)
   • $a$의 역수를 양변에 곱한다.
2. $a=0$인 경우
   • $b=0$ ($0x=0$꼴) : 해가 무수히 많다.
   • $b\neq0$ : 해가 없다.

연립일차방정식 유형 (해의 개수)

해가 하나인 경우

해가 하나인 연립일차방정은 다음과 같습니다.

$\begin{cases}3x-2y=5\cdots( ㄱ)\\2x-y=3\cdots(ㄴ)\end{cases}$

$\begin{align}&\;6x-4y=10\cdots( ㄱ\times2)\\
-&\underline{)6x-3y=9}\cdots(ㄴ\times3)\\
&\;\;0x-y=1
\end{align}$ $\therefore\;y=-1$

(ㄱ)에 $y=-1$을 대입: $x=1$
$\therefore\;x=1,\;y=-1$

해가 무수히 많은 경우

연립일차방정식의 해는 미지수가 2개인 일차방정식 2개를 동시에 만족하는 해를 의미합니다. 다음과 같은 성질을 생각할 때 연립일차방정식의 해가 무수히 많은 경우가 있지 않을까? 하는 생각이 가능합니다.

• 미지수가 2개인 일차방정식의 해는 무수히 많다.
  • 복습 : 미지수가 2개인 일차방정식

다음의 문제를 가감법을 이용해 풀어 봅시다.

$\begin{cases}2x-3y=2\cdots( ㄱ)\\4x-6y=4\cdots(ㄴ)\end{cases}$의 $x$를 소거

$\begin{align}&\quad4x-6y=4\cdots( ㄱ\times2)\\
\ominus&\quad4x-6y=4\cdots(ㄴ)\\
\hline
&\quad\quad\;\;0y=0 \end{align}$

$0\times y=0$을 만족하는 $\bbox[#ffff00]{y}$의 값(해)은 $\bbox[#ffff00]{\text{모든 수}}$ 입니다.

$2x-3y=2 \cdots( ㄱ)$을 $x$에 대해 정리하면 $x=\dfrac{1}{2}\times(3\bbox[#ffff00]{y}+2)$이고 $\bbox[#ffff00]{y}$에 $\bbox[#ffff00]{\text{모든 수}}$를 대입하면 주어진 연립일차방정식이 무수히 많은 해를 갖는다는 것을 알 수 있습니다.

연립일차방정식의 해가 무수히 많은 경우는 다음과 같이 정리할 수 있습니다.

• 한 일차 방정식에 등식의 성질을 적용하여 다른 일차방정식을 만들 수 있다.

해가 없는 경우

가감법을 이용해 $x$를 소거한 방정식$\square\times y=\triangle$의 해 $y$ 값이 존재하면 나머지 해 $x$값도 정확히 하나 존재 함을 알 수 있습니다. 따라서 해가 없을 조건은 $\square\times y=\triangle$의 해가 없을 조건과 같을 것이라고 추측할 수 있습니다. 해가 없는 경우에 대한 문제를 풀어 보면서 확인해 봅시다.

$\begin{cases}2x-3y=2\cdots( ㄱ)\\4x-6y=3\cdots(ㄴ)\end{cases}$의 $x$를 소거

$\begin{align}&\quad4x-6y=4\cdots( ㄱ\times2)\\
\ominus&\quad4x-6y=3\cdots(ㄴ)\\
\hline
&\quad\quad\;\;0y=1 \end{align}$

$0y=1$의 해가 존재하지 않기 때문에 주어진 연립일차부등식의 해는 없습니다. ( 이유 : $ax=b$꼴)

연립일차방정식 해의 개수 증명

다음과 같은 일반적인 연립일차방정식에서 해의 개수에 대해 생각해 봅시다.

조건: $a,b,c,a’,b’,c’$: 상수, $a\neq0,\;b\neq0,\;a’\neq0,\;b’\neq0$

$\begin{cases}ax+by=c\cdots(ㄱ)\\a’x+b’y=c’\cdots(ㄴ)\end{cases}$에서 x를 소거해 봅시다.

$\begin{align}&\quad x+\dfrac{b}{a}y=\dfrac{c}{a}\cdots\left(ㄱ\times\dfrac{1}{a}\right)\\
\ominus &\quad x+\dfrac{b’}{a’}y=\dfrac{c’}{a’}\cdots\left(ㄴ\times \dfrac{1}{a’}\right)\\
\hline
&\quad\left( \dfrac{b}{a}-\dfrac{b’}{a’}\right)y=\dfrac{c}{a}-\dfrac{c’}{a’}
\end{align}$

$\left( \bbox[#ffff00]{\dfrac{b}{a}-\dfrac{b’}{a’}}\right)\bbox[#94feff]{y}=\bbox[#dcff8c]{\dfrac{c}{a}-\dfrac{c’}{a’}}$의 해 $\bbox[#94feff]{y}$의 개수는 다음의 결과에 따라 달라집니다. (이유: $a \times x=b$꼴 방정식)

1. $\bbox[#ffff00]{\dfrac{b}{a}\neq\dfrac{b’}{a’}}$인 경우 : 1개
2. $\bbox[#ffff00]{\dfrac{b}{a}=\dfrac{b’}{a’}}$인 경우
   • $\dfrac{c}{a}=\dfrac{c’}{a’}$ : 무수히 많다 (부정)
   • $\dfrac{c}{a}\neq \dfrac{c’}{a’}$: 해가 없다 (불능)

$\bbox[#94feff]{y}$의 해를 $ax+b\bbox[#94feff]{y}=c$에 대입하면 아래와 같은 이유로 $x$값도 정확히 하나 결정됩니다.

• $ax+b\bbox[#94feff]{y}=c$ ($a\neq0$)를 정리하면 $ax=-b\bbox[#94feff]{y}+c$이고 이는 $ax=b$꼴의 방정식 이고 $a\neq0$이므로 해 $x$가 하나입니다.

따라서 위의 $\bbox[#94feff]{y}$의 해의 개수가 연립일차방정식의 해의 개수와 일치합니다.

연립방정식 해의 개수 공식

조건 $\dfrac{b}{a}=\dfrac{b’}{a’}$ 변형

$\dfrac{b}{a}=\dfrac{b’}{a’}$을 비례식으로 바꾸면 $b:a=b’:a’$이고 다음과 같은 해석 할 수 있습니다.

• $b’$가 $b$의 $\square$배이면 $a’$도 $a$의 $\square$배

따라서 $a’$에 대한 $a’$의 비율이 $b’$에 대한 $b$의 비율과 같게 되고 따라서 다음과 같은 결과를 얻을 수 있습니다.

비율: $\dfrac{a}{a’}=\dfrac{b}{b’}=\dfrac{1}{\square}$

해의 개수 공식

다음과 같은 일반적인 연립일차방정식에서 해의 개수는 다음과 같이 판정할 수 있습니다.

$a,b,c,a’,b’,c’$: 상수, $a\neq0,\;b\neq0,\;a’\neq0,\;b’\neq0$인 연립일차방정식

$\begin{cases}ax+by=c\cdots(ㄱ)\\a’x+b’y=c’\cdots(ㄴ)\end{cases}$의 해의 개수는 다음과 같이 구할 수 있습니다.

1. $\bbox[#ffff00]{\dfrac{a}{a’}{\color{red}\neq}\dfrac{b}{b’}}$인 경우 : 1개
2. $\bbox[#ffff00]{\dfrac{a}{a’}{\color{red}=}\dfrac{b}{b’}}=\dfrac{c}{c’}$ : 무수히 많다 (부정)
3. $\bbox[#ffff00]{\dfrac{a}{a’}{\color{red}=}\dfrac{b}{b’}}\neq \dfrac{c}{c’}$: 해가 없다 (불능)

수학 문제를 빠르고 정확하게 풀려면, 이론을 완벽히 이해하고, 문제를 체계적으로 푸는 방법을 익히는 것이 중요합니다. 이미 언급한 연립일차방정식 해의 개수 판별법을 마스터했다면, 이제 더 고급 문제와 다양한 유형을 풀어볼 때입니다. 이를 위해 EBS와 엠베스트 인강을 추천드립니다. 두 플랫폼에서는 전문 강사진의 명쾌한 강의와 함께, 문제 풀이의 핵심을 쉽게 배울 수 있는 강의를 제공합니다.

• EBS 수학 강의(무료): EBS 수학 강의 바로가기
• 엠베스트 수학 강의: 엠베스트 수학 강의 바로가기