사다리꼴, 평행사변형, 직사각형, 마름모, 정사각형에 대한 정의와 대각선의 성질·조건을 정리하고, 나아가 등변사다리꼴에 대한 심화 학습 내용까지 다루었습니다. 여러가지 사각형의 정의·성질·조건을 이번 글에서 한눈에 알아보기 쉽게 정리했습니다.
그동안 배운 내용의 기억과 암기를 돕기 위해 표와 도식을 통해 정리하고, 체계적으로 연결하여 복습할 수 있도록 구성했습니다. 단순한 암기를 넘어서, 정의 → 성질 → 조건의 흐름을 따라가며 전체적인 구조를 정리한다면 시험 대비뿐 아니라 다양한 문제 해결에도 훨씬 수월하게 적용할 수 있을 것입니다.
목차
여러가지 사각형(복습)
여러가지 사각형의 정의와 성질에 대해 복습하고 사각형 사이의 관계에 대해 학습해 봅시다.
여러가지 사각형의 정의
| 도형 | 정의 |
|---|---|
| 사다리꼴 | 한 쌍의 대변 평행 |
| 등변사다리꼴 | 한 쌍의 대변 평행, 밑각이 같다. |
| 평행사변형 | 두 쌍의 대변 평행 |
| 직사각형 | 네 각의 크기 같다 |
| 마름모 | 네 변의 길이 같다 |
| 정사각형 | 네 변의 길이 같다 네 각의 크기 같다 |
대각선의 성질과 조건
여러가지 사각형의 대각선에 대한 성질을 정리하면 아래와 같습니다.
위의 주어진 성질은 각 사각형을 결정하는 조건입니다. 단, 등변사다리꼴의 경우 사다리꼴을 전제로 정의한 사각형이므로 사다리꼴의 조건이 추가되어야 조건이 될 수 있습니다. (자세한 설명은 등변사다리꼴 포스팅에 있습니다. 복습이므로 반례만 들고 넘어가도록 하겠습니다.)
- 두 대각선의 길이가 같은 사각형 $\xrightarrow[]{\times}$ 등변사다리꼴 (반례:그림)
- 조건 & 성질: 두 대각선의 길이가 같은 사다리꼴
사각형의 성질 조건 총정리
지금까지 학습한 도형의 정의, 성질, 조건을 표로 정리하면 아래와 같고 표의 내용을 해석할 때 다음과 같은 내용에 주의해야 합니다.
- 정의: 굵은 글씨
- 대각선에 대한 성질이자 조건: 파란글씨
- 등변사다리꼴의 조건이 아닌 성질: 빨간글씨 (복습)
| 도형 | 정의, 성질, 조건 |
|---|---|
| 사다리꼴 | 한 쌍의 대변이 평행한 사각형 |
| 등변 사다리꼴 | 밑각의 크기가 같은 사다리꼴 대각선의 길이가 같은 사다리꼴 (조건이 아닌 성질) 평행이 아닌 대변 길이가 같은 사다리꼴 |
| 평행사변형 (복습) | 두 쌍의 대변이 평행한 사각형 대각선이 서로 이등분 사각형 (조건 & 성질) 두 쌍의 대변 평행하다. 두 쌍의 대각의 크기가 같다 이웃하는 두 내각의 합이 180도 한 쌍의 대변이 평행하고 길이가 같다 |
| 직사각형 | 네 각의 크기가 모두 같은 사각형 대각선의 길이가 같고 서로 이등분하는 사각형 |
| 마름모 | 네 변의 크기가 모두 같은 사각형 대각선이 서로 수직이등분하는 사각형 |
| 정사각형 | 네 각의 크기와 네 변의 길이가 같은 사각형 대각선의 길이 같고 서로 수직이등분하는 사각형 |
정의와 대각선의 성질은 각 사각형을 결정하는 조건도 됩니다. 따라서 정의와 대각선의 성질을 이용하면 사각형 사이에 결정 조건을 추가하여 다음과 같이 그림으로 표현할 수 있습니다.
중점을 연결한 사각형
각 변의 중점을 연결하여 얻을 수 있는 사각형에 대해 이해하기 위해서는 다음과 같은 수학적 개념이 필요합니다.
- 닮은 도형의 성질
- 대응각의 크기가 같다.
- 닮음비가 일정 하다.
- 동위각이 같으면 평행하다.
따라서 중점을 연결한 도형에 대해 확실하게 이해하기 위해서는 닮음을 학습한 다음 정리해야 합니다. 여기서는 결과만 정리하고 넘어가도록 하겠습니다.
[이미지 출처: 개념원리]