이번 시간에는 전 시간에 이어서 순환소수의 순환마디에 대해 정리하고, 순환소수를 분수(유리수)로 변형하는 공식에 대해 학습해 보기로 하자.
개요
순환소수와 순환마디
정의와 표기법
순환소수의 정의는 전 시간에 다루었기 때문에 언급만 하고 넘어가려고 한다.
- 순환소수 : 소수점 아래의 어떤 자리에서부터 $\color{blue}\text{일정한 숫자의 배열}$이 한없이 되풀이되는 소수.
순환소수에서 $\color{blue}\text{일정한 숫자의 배열}$이 되풀이되는 부분을 ‘$\color{blue}\text{순환마디}$’ 라고 부르기로 하자. 예를 살펴보면서 순환마디의 정의를 더 정확히 정리해 보기로 하자.
- $0.{\color{red}392}{\color{blue}392}{\color{red}392}{\color{blue}392}\cdots$
- $0.{\color{red}392392}{\color{blue}392392}\cdots$
- $0.3{\color{red}923}{\color{blue}923}{\color{red}923}{\color{blue}923}\cdots$
- $0.39{\color{red}239}{\color{blue}239}{\color{red}239}\cdots$
위의 주어진 경우처럼 하나의 순환소수에서 순환마디를 다양하게 생각할 수 있으므로 정의를 더 정교하게 다듬을 필요가 있다. 하나의 순환소수의 순환마디가 하나가 되도록 다음과 같이 정의 하기로 하자.
- $\color{blue}\text{순환마디}$: 순환소수에서 소수점 아래에서 숫자배열이 되풀이되는 최초의 수로 시작하는 가장 짧은 마디.
- 표기법: 순환 마디의 양끝 숫자에 점을 찍는다.
예를 통해 순환마디를 찾고 표기하는 방법을 학습해 보자.
$\begin{align}
1.{\color{red}3}3333\cdots&=1.\dot{3}\rightarrow \text{순환마디:} 3\\
3.{\color{red}25}2525\cdots&=3.\dot{2}\dot{5}\rightarrow \text{순환마디:} 25\\
2.3{\color{red}415}415415\cdots&=2.3\dot{4}1\dot{5}\rightarrow \text{순환마디:} 415\\
1.23{\color{red}45}4545\cdots&=1.23\dot{4}\dot{5}\rightarrow \text{순환마디:} 45\\
\end{align}$
순환소수를 분수(유리수)로 나타내기
분수를 나눗셈을 이용해 계산할 때 순환소수가 되는 분모의 조건에 대해 정리하면 다음과 같다.
- 기약분수로 나타냈을 때 분모의 소인수가 $2,5$이외의 수가 있다면 순환소수이다.
이 내용은 전 시간에 다루었으므로 키워드 검색을 이용해 복습하길 바란다.
유리수는 위와 같은 조건을 만족 할 때 순환소수가 될 수 있다. 그렇다면 순환소수는 유리수만 있을까? 또는 유리수가 아닌 순환소수가 있지 않을까? 라는 질문을 할 수 있다. 이에 대한 결론은 다음과 같다.
- 순환소수는 모두 유리수 이다.
이는 다음의 학습할 순환소수를 분수로 바꾸는 방법에 의해 정당화 된다.
순환소수를 분수(유리수)로 바꾸는 방법
소수점과 순환마디의 위치에 따라 순환소수를 분수로 바꾸는 과정을 살펴보고 일반화 하여 정리해 보기로 하자.
소수점 첫자리 부터 순환마디
[예제1] $1.\bbox[#ffff00]{\dot{3}}=1.\bbox[#ffff00]{3}333\cdots$ 을 유리수로 표현해 보자.
$1.\bbox[#ffff00]{3}333\cdots=x$로 두자.
$\begin{align}
\bbox[#ffff00]{10}x=13&.{\color{#dc143c}3333}\cdots\\
\ominus\;\;x=\;\;1&.{\color{#dc143c}3333}\cdots\\
\hline
9x=13&-1\\
\end{align}$
$\therefore\; x=\dfrac{13-1}{9}$
위의 문제에서 처럼 $\bbox[#ffff00]{\text{순환마디}}$를 이용하면 소숫점 아래를 제거 할 수 있다.
[예제2] $3.\bbox[#ffff00]{\dot{2}\dot{5}}=3.\bbox[#ffff00]{25}25\cdots$을 유리수로 변형하는 과정은 다음과 같다.
$3.\bbox[#ffff00]{25}25\cdots=x$로 두자.
$\begin{align}
\bbox[#ffff00]{100}x=325&.{\color{#dc143c}2525}\cdots\\
\ominus\;\;x=\quad 3&.{\color{#dc143c}2525}\cdots\\
\hline
99x=325&-3\\
\end{align}$
$\therefore \; x=\dfrac{325-3}{99}$
소수점 둘째 자리 부터 순환마디
[예제3] $2.3\bbox[#ffff00]{\dot{4}1\dot{5}}=2.3\bbox[#ffff00]{415}415\cdots$을 유리수로 변형하는 과정에 대해 살펴보자.
$2.3\bbox[#ffff00]{415}415\cdots=x$로 두고 양변에 10을 곱해 순환마디를 소수 첫 자리로 옮기면 $\bbox[#ffff00]{10}x=23.\bbox[#ffff00]{415}415\cdots$이고 1,2번과 동일한 과정으로 풀이 할 수 있다.
$\begin{align}
\bbox[#ffff00]{10000}x=23415&.{\color{#dc143c}415415}\cdots\\
\ominus\;\;\bbox[#ffff00]{10}x=\;\;\quad 23&.{\color{#dc143c}415415}\cdots\\
\hline
9900x=12345&-23\\
\end{align}$
$\therefore\;x=\dfrac{23415-23}{9990}$
소수점 셋째 자리 부터 순환마디
[예제4] $1.23\bbox[#ffff00]{\dot{4}\dot{5}}=1.23\bbox[#ffff00]{45}45\cdots$을 분수로 변형하는 과정에 대해서도 살펴보기로 하자.
$1.23\bbox[#ffff00]{45}45\cdots=x$로 두면, $100x=123.\bbox[#ffff00]{45}45\cdots$ 이고
$\begin{align}
\bbox[#ffff00]{10000}x=12345&.{\color{#dc143c}4545}\cdots\\
\ominus\;\;\bbox[#ffff00]{100}x=\quad 123&.{\color{#dc143c}4545}\cdots\\
\hline
9900x=12345&-123\\
\end{align}$
$\therefore\;x=\dfrac{12345-123}{9900}$
정리
규칙성을 찾기 위해 결과를 정리해 보자.
분모의 규칙성
$1.\dot{3}=\dfrac{13-1}{9} \xrightarrow[]{\text{분모}}1.\bbox[#ffff00]{\dot{3}}\rightarrow \bbox[#ffff00]{9}$
$3.\dot{2}\dot{5}=\dfrac{325-3}{99}\xrightarrow[]{\text{분모}}3.\bbox[#ffff00]{\dot{2}\dot{5}}\rightarrow \bbox[#ffff00]{99}$
$2.3\dot{4}1\dot{5}=\dfrac{23415-23}{9990}\xrightarrow[]{\text{분모}}2.\bbox[#94feff]{3}\bbox[#ffff00]{\dot{4}1\dot{5}}\rightarrow \bbox[#ffff00]{999}\bbox[#94feff]{0}$
$1.23\dot{4}\dot{5}=\dfrac{12345-123}{9900}\xrightarrow[]{\text{분모}}1.\bbox[#94feff]{23}\bbox[#ffff00]{\dot{4}\dot{5}}\rightarrow \bbox[#ffff00]{99}\bbox[#94feff]{00}$
위의 사실을 토대로 분모의 규칙성을 정리하면 다음과 같다..
소숫점 밑 $\bbox[#ffff00]{\text{순환마디}}$의 숫자 개수 : $\bbox[#ffff00]{9}$
소숫점 밑 남은 숫자 개수 : $\bbox[cyan]{0}$
분자의 규칙성
$\overbrace{\bbox[#ffc5fd]{1}.\dot{3}}^{\color{#dc143c}\text{13}}=\dfrac{13-1}{9} \xrightarrow[]{\text{분자}} {\color{#dc143c}13}-\bbox[#ffc5fd]{1}$
$\overbrace{\bbox[#ffc5fd]{3}.\dot{2}\dot{5}}^{\color{#dc143c}\text{325}}=\dfrac{325-3}{99}\xrightarrow[]{\text{분자}}{\color{#dc143c}325}-\bbox[#ffc5fd]{3}$
$\overbrace{\bbox[#ffc5fd]{2.3}\dot{4}1\dot{5}}^{\color{#dc143c}\text{23415}}=\dfrac{23415-23}{9990}\xrightarrow[]{\text{분자}} {\color{#dc143c}23415}-\bbox[#ffc5fd]{23}$
$\overbrace{\bbox[#ffc5fd]{1.23}\dot{4}\dot{5}}^{\color{#dc143c}\text{12345}}=\dfrac{12345-123}{9900}\xrightarrow[]{\text{분자}} {\color{#dc143c}12345}-\bbox[#ffc5fd]{123}$
분자의 규칙을 정리하면 다음과 같다.
- ${\color{#dc143c}\text{소숫점 제거한 수}}-\bbox[#ffc5fd]{\text{소숫점, 순환마디 제거한 수}}$
이제 분자와 분모의 규칙성을 정리해 순환소수를 유리수로 변형하는 공식을 다음과 같이 정리할 수 있다.
순환소수 분수 변형 공식
순환소수는 다음과 같이 분수(유리수)로 바꿀 수 있다.
- $\dfrac{{\color{#dc143c}\text{소숫점 제거한 수}}-\bbox[#ffc5fd]{\text{소숫점, 순환마디 제거한 수}}}{\underbrace{\bbox[#ffff00]{9\cdots}}_{\text{소숫점 밑 순환마디 숫자 개수,}}\;\; \underbrace{\bbox[#94feff]{0\cdots}}_{\text{소숫점 밑 남은 숫자 개수}}}$
이상으로 순환소수의 순환마디를 이용해 분수로 나타내는 방법에 대한 학습을 마무리 하도록 하겠습니다.