소인수분해 심화 문제 유형 정리

이번 시간에는 소인수분해와 관련된 심화 문제를 유형별로 정리해 보기로 하자.

제곱수와 소인수분해

제곱수는 어떤 자연수의 제곱이 되는 수를 뜻하고 정리하면 다음과 같다.

• $\text{(제곱수)}=\text{(자연수)}^2$
  $1^2,2^2,3^2,4^2,5^2,6^2,\dots$
• $1^2$을 제외한 제곱수는 소인수분해 가능하다.

제곱수와 지수의 관계

먼저 결론부터 정리해 보면 다음과 같다. 여기서는 $1^2$을 제외하고 소인수분해 가능한 제곱수에 대한 성질을 중심으로 정리하자.

• 제곱수는 소인수분해 하면 지수가 짝수이다.
• 소인수분해 하여 지수가 짝수인 자연수는 제곱수 이다.

• $\text{(제곱수)}=\text{(소인수의 지수가 모두 짝수)}$

제곱수의 성질: 지수가 짝수

$\text{(자연수)}=\triangle^\heartsuit \times \square^\bigcirc$로 소인수 분해 될 때 $\text{(자연수)}^2=\left(\triangle^\heartsuit \times \square^\bigcirc\right)^2=\triangle^{2\times \heartsuit} \times \square^{2\times\bigcirc}$이다. 이를 정리하면 다음과 같다.

• 제곱수를 소인수 분해하면 지수가 짝수이다.

지수가 짝수인 수의 성질: 제곱수

소인수 분해 결과 지수가 짝수인 수의 성질에 대해 살펴보자.

어떤 자연수$N$를 소인수 분해한 결과가 $3^6\times5^4$ 일 때 이 자연수$N$은 다음과 같은 이유로 제곱수이다.

• $3$이 곱해진 개수 : 6번
• $5$가 곱해진 개수 : 4번
• $\bbox[#ffff00]{\text{지수를 반으로 줄인 수}}$ : $\bbox[#ffff00]{3^3\times5^2}$
• $N=3^6\times5^4=\left(\bbox[#ffff00]{3^3\times5^2}\right)^2$

자연수 $N$을 소인수 분해 결과 소인수의 지수가 모두 짝수라면 $\bbox[#ffff00]{\text{지수를 반으로 줄인 수}}$를 생각할 수 있다. 따라서 주어진 자연수 $N$은 $\bbox[#ffff00]{\text{지수를 반으로 줄인 수}}^2$이고 따라서 $N=\bbox[#ffff00]{\text{(자연수)}}^2$을 만족하는 제곱수이다.

제곱수 관련된 문제

$360\times a$가 어떤 자연수의 제곱이 되도록 하는 자연수 $a$에 대하여 다음의 물음에 답하여라.

[1] 최소 자연수 $a$값 구하기.

$360\times a=2^{\color{#dc143c}3}\times3^2\times5^{\color{#dc143c}1}\times a=\text{(제곱수)}$를 만족해야 한다. 따라서 소인수 분해 결과 지수를 짝수로 만들 수 있는 최소 $a$값을 구하면 된다.

소인수$2,5$의 지수가 ${\color{#dc143c}\text{홀수}}$이므로 최소한 이 두 소인수의 지수를 짝수로 만들어야 하고 최소 자연수 $a=2\times 5$이다.

[2] 10번째로 작은 자연수 $a$값 구하기.

$360\times a=2^{\color{#dc143c}3}\times3^2\times5^{\color{#dc143c}1}\times a=\text{(제곱수)}$를 만족하는 $a$값 중 10번째로 작은 값을 찾기 위해 가장 작은 값부터 차례로 생각해 보자.

소인수$2,5$의 지수가 ${\color{#dc143c}\text{홀수}}$이므로 $a$값은 $2,5$를 소인수로 반드시 가지고 있어야 한다. 따라서 $\color{#dc143c}a$ 는 다음과 같이 표현 할 수 있다.

• $\begin{align}2&^{\color{#dc143c}3}\times3^2\times5^{\color{#dc143c}1}\times {\color{#dc143c}2\times5\times\square}\\[2em]
  &=2^{\color{#dc143c}4}\times 3^2\times 5^{\color{#dc143c}2}\times{\color{#dc143c}\square}\\[2em]
  &=\text{(제곱수)}\end{align}$

위의 결과는 ${\color{#dc143c}\square}$의 값에 따라 크기가 결정된다. 최종적으로 지수가 짝수인 제곱수가 되려면, 필연적으로 ${\color{#dc143c}\square}$는 소인수분해 결과 지수가 짝수가 되어야 한다.

따라서 ${\color{#dc143c}\square}$는 제곱수가 되어야 한다. 제곱수를 작은 순서대로 생각하면 $1^2, 2^2, 3^2,\cdots$이고, 10 번째로 작은 값은 ${\color{#dc143c}\square}=10^2$이다.

따라서 $a=2\times5\times{\color{#dc143c}\square}=2\times5\times10^2=1000$이다.

약수의 개수

약수의 개수 공식

자연수 $l,m,n$과 소수$p,q,r$에 대하여 $N=p^l\times q^m\times r^n$로 소인수 분해 될때 $N$의 약수의 개수는 다음과 같다.

• $p^l\times q^m\times r^n$의 약수의 개수:
  $(l+1)(m+1)(n+1)$

소인수의 개수가 늘어나도 약수의 개수는 $\bbox[#ffff00]{\text{(지수+1)} \text{의 곱}}$으로 나타낼 수 있다.

약수의 개수 문제

[1] $50$ 이하의 자연수 중 약수의 개수가 $6$개인 자연수의 개수를 구하기.

약수의 개수는 $\bbox[#ffff00]{({\color{#dc143c}\text{지수}}+1) \text{ 의 곱}}$이다. 약수의 개수로 $6$이 나오는 경우를 생각하면 다음 두 가지 경우 뿐이다.

• 소인수가 1개: $6=({\color{#dc143c}5}+1)$
• 소인수가 2개: $6=2\times3=({\color{#dc143c}1}+1)\times({\color{#dc143c}2}+1)$

소인수가 1개인 경우

소인수가 $1$개이고 지수가 ${\color{#dc143c}5}$인 50이하의 자연수를 먼저 생각해 보면 $2^5$ 뿐임을 알 수 있다.

소인수가 2개인 경우

소인수가 $2$개이고 각 소인수의 지수가 $1,2$인 경우를 생각해 정리해 보자. 지수가 1인 소인수와 2인 소인수를 빠짐없이 고려하기 위해 2차원 분석 도구인 표를 이용해 보자.

결론

약수의 개수가 6개인 자연수의 개수는 소인수가 1개인 경우 1개 소인수가 2개인 경우 $\bbox[#94feff]{7}$개 총 8개 임을 알 수 있다.

자연수의 곱과 소인수 개수

[1] $1$~$10$까지 자연수의 곱 $N$에 대하여 $N$을 소인수분해한 결과를 구해아.

[풀이]

$N=1\times2\times3\times4\times5\times6\times7\times8\times9\times10$의 소인수는 $1$~$10$까지 소수이다. 따라서 $N=2^{\triangle}\times3^{\square}\times5^{\bigcirc}\times 7^{\heartsuit}$의 꼴로 소인수분해 된다. 이 때 각 소인수의 지수는 소인수가 곱해진 개수를 의미한다.

$\heartsuit \rightarrow 7\text{의 배수} :7\rightarrow1\text{개}$
$\bigcirc \rightarrow 5\text{의 배수}: 5,10\rightarrow2\text{개}\\[1em]$
$\square \rightarrow\begin{Bmatrix}3\text{의 배수}: 3,6,\bbox[#dcff8c]{9}\rightarrow3\text{개}\\[0.5em]
9\text{의 배수}: \qquad\bbox[#dcff8c]{9}\rightarrow1\text{개}\\
\end{Bmatrix}\rightarrow 4\text{개}\\[2em]$
$\triangle \rightarrow\begin{Bmatrix}2\text{의 배수}: 2,\bbox[#ffff00]{4},6,\bbox[#94feff]{8},10\rightarrow5\text{개}\\[0.5em]
4\text{의 배수}:\;\,\bbox[#ffff00]{4},\;\;\;\, \bbox[#94feff]{8}\quad \rightarrow2\text{개}\\[0.5em]
8\text{의 배수}: \qquad\;\bbox[#94feff]{8} \;\;\;\rightarrow1\text{개}\\[0.5em]
\end{Bmatrix}\rightarrow 8\text{개}$

따라서 $N=2^8\times3^4\times5^3\times7$이다.

소인수의 개수를 셀 때 배수로 묶어서 세는 방법을 잘 이해하길 바란다.

[2] $1$~$200$까지 자연수의 곱 $N$에 대하여 $N$이 $5^k(\text{k: 자연수})$로 나누어 떨어질 때 $k$의 최댓값을 구하여라.

[풀이]

$\dfrac{1\times2\times3\times4\times \cdots \times200}{5^k}$ 값이 자연수가 되는 $k$의 최대값을 구하는 것은 분자에 소인수 5가 곱해진 개수 (지수)를 구하는 것과 같다.

$\text{5의 곱해진 개수}\begin{Bmatrix}5\text{의 배수}: 40\text{개}\\[0.5em]
5^2\text{의 배수}:\;8\text{개}\\[0.5em]
5^3\text{의 배수}: 1\text{개}\\[0.5em]
\end{Bmatrix}\rightarrow 49\text{개}$

따라서 가장 큰 자연수 $k=49$이다.

이상으로 자연수의 소인수분해와 관련된 심화문제 풀이를 마무리 하도록 하겠다.