원과 부채꼴은 기하학에서 중요하게 다루는 개념이기 때문에 정확히 이해하고 정리해야 합니다. 원주율을 이용해 원의 둘레와 넓이를 구하는 과정을 이해하고 비례식, 비율을 통해 부채꼴의 호의 길이와 넓이를 구하는 과정에 대해 다루었습니다. 호의 길이와 넓이 사이의 관계에 대한 설명을 4가지 방법으로 제시하였습니다.
비율에 대한 이해가 부족한 학생은 글 하단의 초등학교 비와 비율에 대한 내용을 정리하고 내용을 학습하길 바랍니다.
개요
용어정리
먼저 원과 관련된 용어를 아래의 그림을 보면서 정리해 보자.
원 $O$ : $\bbox[#ffff00]{\text{평면}}$에서 한 점($\bbox[#ffc5fd]{O}$)으로 부터 $\bbox[#dcff8c]{\text{일정한 거리}}$의 모든 점으로 이루어진 도형
- $\bbox[#ffc5fd]{O}$ : 원의 중심
- $\bbox[#dcff8c]{\text{일정한 거리}}$ : 반지름(radius)
원위의 서로 다른 두 점에 대하여 호, 현, 활꼴 , 부채꼴은 다음과 같이 정의한다.
호 : 원 위의 서로 다른 두 점 $A,\;B$는 원을 두 부분으로 나누고 각각 을 호 라고 한다. 긴 호를 표현할 때는 중간에 점($P$)을 추가하여 이름을 붙인다.
- 호 AB : 짧은 호 $\rightarrow$ 기호 $\overset{\mmlToken{mo}{⏜}}{AB}$
- 호 APB : 긴 호 $\rightarrow$ 기호 $\overset{\mmlToken{mo}{⏜}}{APB}$
현 AB : 원 위의 서로 다른 두 점 $A,\;B$를 연결한 선분 AB $\rightarrow$ 기호 $\overline{AB}$
- 지름 : 현 중에서 가장 긴 현
$l$이 원 $O$의 할선 : 직선 $l$이 원$O$와 서로 다른 두 점($E,\;F$)에서 만난다.
활꼴 : 호와 현으로 둘러싸인 도형
- 반원은 활꼴이다.
부채꼴 $AOB$ : 반지름 $\overline{OA},\;\overline{OB}$와 호 $AB$로 둘러싸인 도형
- $\angle{AOB}$ : 부채꼴 AOB의 중심각
- $\overset{\mmlToken{mo}{⏜}}{AB}$ : 중심각 AOB에 대한 호, 부채꼴 AOB의 호
- 반원은 부채꼴이면서 활꼴이다.
원주율, 원의 둘레, 원의 넓이 관계
원주율과 원의 둘레
아르키메데스는 삼각형의 닮음에서 처럼 원의 크기와 상관 없이 둘레와 지름사이의 $\bbox[#ffff00]{\text{비율}}$은 일정할 것이라는 생각을 했다.
이 $\bbox[#ffff00]{\text{비율}}$을 계산하기 위해 원에 내접, 외접하는 두 정다각형을 이용해 원의 둘레를 96각형 까지 계산하였으며, 결과는 $3.31408…< \bbox[#ffff00]{\text{비율}}<3.1428….$임을 확인하였다.
이 $\bbox[#ffff00]{\text{비율}}$은 순환 하지 않는 무한소수임이 밝혀졌다. 따라서 $\bbox[#ffff00]{\text{비율}}$에 해당하는 값을 $\bbox[#ffff00]{\pi}$(파이)로 쓰고 $\bbox[#ffff00]{\text{원주율}}$로 부르기로 약속하였다.
- 원주 : 원의 둘레 ( $l$ )
- 원주율: $\dfrac{(\text{원의 둘레})}{(\text{지름})}=\pi=3.14\cdots$
- $\pi$ (파이) : 둘레를 뜻하는 그리스어 ‘περιμετροζ’ 의 머릿글자
- $(\text{원의 둘레})=(\text{지름})\times (\text{원주율})$
따라서 반지름이 $r$인 원의 둘레(원주)는 다음과 같이 표현할 수 있다.
$\begin{align}(\bbox[#dcff8c]{\text{원의 둘레}})&=(\text{지름})\times (\text{원주율})\\[1em]\bbox[#dcff8c]{l}&=2r\times\pi\\[1em]
\therefore\;\bbox[#dcff8c]{l}&=2 \pi r\end{align}$
$\pi$는 원주율, 즉 숫자로 취급하여 문자 $r$보다 앞에 써야 한다.
원의 넓이
원의 넓이를 구하는 정확한 과정은 고등학교 미적분을 학습해야 가능하다. 여기서는 직관적으로 정리하고 넘어가기로 하자.
과정에 대한 정확한 이해를 위해 영상 자료를 꼭 보길 바란다.
위의 사실을 이용하면 다음과 같은 결론을 얻을 수 있다.
따라서 반지름이 $r$인 원의 넓이 $S$는 다음과 같다.
$\begin{align}(\text{원의 넓이})&=\dfrac{1}{2}\times (\text{원의 둘레}) \times (\text{반지름})\\[1em]
S&=\dfrac{1}{2}\times \bbox[#dcff8c]{l}\times r\\[1em]
&=\dfrac{1}{2}\times (\bbox[#dcff8c]{2\pi r})\times r\\[1em]
\therefore\;S&=\pi r^2\end{align}$
중심각, 호의 길이, 넓이, 현의 길이 관계
한 원 또는 반지름($r$)이 동일한 두 원의 일부인 부채꼴에 대하여 이들 사이의 관계에 대해 정리해 보기로 하자.
중심각이 같을 때
$\angle{AOB}=\angle{CO’D}$이면 $(\text{부채꼴 AOB})\equiv(\text{부채꼴 CO’D})$ 이고 따라서 다음이 성립한다.
- 대응변 : $\overset{\mmlToken{mo}{⏜}}{AB}=\overset{\mmlToken{mo}{⏜}}{CD}$
- 넓이 : $(\text{부채꼴 AOB})=(\text{부채꼴 CO’D})$
또한 $\triangle{AOB}\equiv\triangle{CO’D}$ (SAS 합동) 이고 다음이 성립한다.
- $\overline{PQ} = \overline{RS}$
따라서 한 원 또는 반지름이 같은 두 원의 부채꼴에 대하여
- 중심각이 같으면
- 호의 길이, 넓이, 현의 길이가 같다.
중심각이 2배,3배 $\cdots$
여기서도 한 원 또는 반지름($r$)이 동일한 두 원의 일부인 부채꼴을 전제로 생각하자.
$\angle{AOB}=\angle{BOC}=\angle{COD}=\angle{DOE}$이면 네 부채꼴이 합동이고 다음이 성립한다.
중심각이 2배, 3배$\cdots$로 변하면 호의 길이와 넓이가 2배, 3배$\cdots$가 된다 따라서 다음과 같이 정리할 수 있다.
- 호의 길이는 중심각에 정비례
- 부채꼴의 넓이는 중심각에 정비례
한편 왼쪽 그림에서$\angle{APB}=2\angle{APC}$일 때 $\overline{AC}<\overline{AB}+\overline{BC}=2\overline{AB}$이다. 따라서 현의 길이와 중심각 사이의 관계를 정리하면 아래와 같다.
- $\bbox[#94feff]{\text{현의길이}}$는 중심각에 $\bbox[#94feff]{\text{정비례 하지 않는다}}$.
중심각, 호의 길이, 넓이 : 정비례
중심각 2,3배 $\cdots$ $\rightarrow$ 호의 길이 2,3배 $\cdots$ 이므로 정비례 관계를 만족하므로 다음의 비가 일정하다.
$\text{(중심각)}\;:\;\text{(호의길이)}\;=\;(\bbox[#ffff00]{\text{일정 비}})$
이는 호의 길이 2,3배 $\cdots$ $\rightarrow$ 중심각 2,3배 $\cdots$라는 의미도 포함하고 있다.
따라서 호의 길이 2배 3배 $\cdots$ $\rightarrow$ 중심각 2,3배 $\cdots$ $\rightarrow$ 넓이 2,3배 $\cdots$이고 이는 다음과 같은 의미를 가지고 있다.
- 부채꼴의 호의길이와 넓이는 정비례 한다.
위의 사실은 아래와 같이 정리 할 수 있다.
부채꼴의 호의 길이와 넓이
반지름이 $r$이고 중심각이 $x^\circ$인 부채꼴의 호의 길이와 넓이에 대한 결과를 요약하면 아래와 같다.
학습한 내용을 토대로 위의 내용을 증명해 보자.
비례식과 비율에 대한 이해가 부족하면 하단의 초등학교 내용을 정리하고 학습을 이어가길 바랍니다.
원을 부채꼴로 생각하기
호의 길이와 넓이가 중심각에 정비례한다. $\bbox[#ffff00]{\text{원}}$을 중심각이 $360^\circ$인 $\bbox[#ffff00]{\text{부채꼴}}$이라고 생각하면 다음과 같이 정리 할 수 있다.
- $\bbox[#ffff00]{\text{원의 둘레}}$ : 중심각이 $360^\circ$인$\bbox[#ffff00]{\text{호의 길이}}$
- $\bbox[#ffff00]{\text{원의 넓이}}$ : 중심각이 $360^\circ$인 $\bbox[#ffff00]{\text{부채꼴 넓이}}$
부채꼴의 호의 길이
반지름이 $r$이고 중심각이 $x^\circ$인 부채꼴의 호의 길이$l$를 구하는 두가지 방법에 대해 정리해 보자.
1.비례식 이용
$\bbox[#ffff00]{360^\circ}\;:\;\bbox[#ffff00]{2\pi r}\;=\;l\;:\;x$
$\therefore \; l=2\pi r\times \dfrac{x^\circ}{360^\circ}$
2. 비율 이용
$l=2 \pi r \times \bbox[#94feff]{\dfrac{\text{호의 길이}}{\text{원주}}:\text{비율}}$
- $\dfrac{\text{호의 길이}}{\text{원주}}=\dfrac{x}{360} \;(\because\; \text{정비례})$
$\therefore\; l=2 \pi r \times \bbox[#94feff]{\dfrac{x}{360}:\text{비율}}$
부채꼴의 넓이
반지름이 $r$이고 중심각이 $x^\circ$인 부채꼴의 넓이$S$를 구하는 방법도 두 가지로 살펴보자.
1.비례식 이용
$\bbox[#ffff00]{360^\circ}\;:\;\bbox[#ffff00]{\pi r^2}\;=\;x\;:\;S$
$\therefore \; S=\pi r^2 \times \dfrac{x^\circ}{360^\circ}$
2. 비율 이용
이번에는 아래의 사고과정을 통해 식을 바로 적어 보는 연습을 해 보자.
원의 넓이가 $\pi r^2$이고 부채꼴의 넓이는 부채꼴의 중심각에 정비례 하므로 원의 넓이에 중심각의 비율을 곱하여 부채꼴의 넓이를 구할 수 있다.
$S=\pi r^2 \times \bbox[#94feff]{\dfrac{x}{360}:\text{비율}}$
호의 길이와 넓이 사이 관계
호의 길이와 넓이 관계식, 증명
결론부터 정리하고 증명에 대해 살펴보기로 하자.
반지름이 $r$인 부채꼴의 호의 길이와 넓이를 각각 $l,\;S$라고 할 때 다음이 성립한다.
- $S=\dfrac{1}{2} \times l \times r$
위 식은 중심각과 상관없이 성립하지만 증명을 위해 중심각을 $x^\circ$로 두고 설명하도록 하겠다.
대수적인 증명(엄밀한 증명)
1.항등식 변형
$\begin{align}S&=\pi r^2\times \dfrac{x}{360}\\[1em]
&=\bbox[#ffff00]{{\color{red}2 \pi r} \times \dfrac{x}{360}}\times \dfrac{\pi r^2}{{\color{red}2 \pi r}}\\[1em]
\therefore\; S&=\dfrac{1}{2}\times \bbox[#ffff00]{l} \times r\end{align}$
2.정비례와 비율 이용
(부채꼴의 호의 길이) $\propto$ (중심각) $\propto$ (부채꼴의 넓이) 이므로 다음이 성립한다.
- 부채꼴의 호의 길이 $\propto$ 부채꼴의 넓이
$S=\pi r^2 \times \bbox[#ffc5fd]{\dfrac{l}{2 \pi r} : \text{비율}}$
$\therefore\; S=\dfrac{1}{2} \times l \times r$
기하적 접근 방법 (직관)
[방법1] 원의 넓이를 구하는 과정과 동일한 아이디어를 이용하면 다음과 같은 결과를 얻을 수 있다.
[방법2] 부채꼴을 롤 케이크 모양으로 잘라서 평평한 곳에 순서대로 옮기면 삼각형이 되므로 아래와 같이 넓이를 구할 수 있다.
응용
위의 사실을 응용하면 다음의 도형을 사다리꼴의 넓이로 바꾸어 계산할 수 있다.
정리
[원]
$\text{(원주율)}=\dfrac{\text{원의 둘레}}{\text{지름}}\rightarrow \pi$
- $\bbox[#ffff00]{\text{원의 둘레}}=\text{지름}\times \pi=\bbox[#ffff00]{2\pi r}$
- $\bbox[#dcff8c]{\text{원의 넓이}}=\dfrac{\text{원의 둘레}}{2}\times \text{반지름}=\bbox[#dcff8c]{\pi r^2}$
[부채꼴]
$\begin{align}\text{부채꼴 호의 길이}&=\bbox[#ffff00]{\text{원의 둘레}}\times\text{비율}\\[1em]
l&=\bbox[#ffff00]{2\pi r}\times \dfrac{x}{360}\end{align}$
$\begin{align}\text{부채꼴 넓이}&=\bbox[#dcff8c]{\text{원의 넓이}}\times\text{비율}\\[1em]
S&=\bbox[#dcff8c]{\pi r^2}\times \dfrac{x}{360}\end{align}$
[부채꼴의 호의 길이와 넓이 관계식]
- $S=\dfrac{1}{2}\times l \times r$
비와 비율(초등 복습)
$\bbox[#dcff8c]{\text{비교량(부분)}}$과 $\bbox[#ffff00]{\text{기준량(전체)}}$의 비가 $\bbox[#dcff8c]{3} : \bbox[#ffff00]{7}$일 때, $\bbox[#ffff00]{\text{전체량이 56}}$이면 부분($x$)은 얼마인지 계산하는 과정을 살펴보자.
1.비를 이용한 비례식 풀이
$\bbox[#dcff8c]{3} : \bbox[#ffff00]{7}=\bbox[#dcff8c]{x}:\bbox[#ffff00]{56}$ $\rightarrow x=56\times\dfrac{3}{7}$
2.비율의 의미
구하려는 값은 전체를 $\bbox[#ffff00]{\text{7등분}}$한 것 중에 $\bbox[#dcff8c]{3}$을 의미한다. 따라서 다음과 같이 계산할 수 있다.
$x=56 \bbox[#ffff00]{\div 7} \bbox[#dcff8c]{\times 3}=56 \bbox[#ffff00]{\times \dfrac{1}{7}} \bbox[#dcff8c]{\times 3}$
$\therefore\;x=56 \times \bbox[#ffc5fd]{\dfrac{3}{7}}$
주어진 비 (3:7)을 분수 $\dfrac{\bbox[#dcff8c]{3}}{\bbox[#ffff00]{7}}$으로 바꾸면 문제를 쉽게 풀이할 수 있다. 따라서 다음을 정의하고 사용하자.
- 두 값의 비가 $a:b$일 때
- $b$에 대한 $a$의 비율 : $\dfrac{a}{b}$
$b$의 값이 주어진 경우 비율을 이용해 $a$를 계산하는 과정은 아래와 같다.
- $(\text{a값})=(\text{b값}) \times \bbox[#ffc5fd]{\dfrac{a}{b}:\text{비율}}$