도형의 닮음 정리 (닮음비, 넓이비, 부피비)

도형의 닮음

스마트폰에서 사진을 확대해도 인물의 눈, 코, 입의 위치나 각도는 변하지 않습니다. 모든 부분의 길이만 일정한 비율로 커질 뿐, 모양은 그대로 유지됩니다.
이처럼 각의 크기는 같고 대응변의 길이의 비가 일정한 관계를 닮음이라 하며, 서로 닮은 두 도형을 닮은 도형이라고 합니다.

도형의 닮음은 단순한 모양의 유사성을 넘어, 수학적으로 비율과 각도를 보존하는 관계를 뜻합니다. 건축 모형, 지도 축척, 사진 확대처럼 우리 생활 곳곳에 닮음의 원리가 숨어 있습니다.
이 글에서는 닮음의 정의부터 평면도형과 입체도형의 닮음, 그리고 닮음비·넓이비·부피비의 관계까지 순서대로 살펴보겠습니다.

도형의 닮음

닮음의 정의

한 도형을 일정한 비율로 확대 또는 축소한 도형이 다른 도형과 합동일 때, 이 두 도형은 서로 닮음인 관계에 있다고 합니다. 또 서로 닮음인 관계에 있는 두 도형을 닮은 도형이라 합니다.

  • 닮은 도형은 크기에 관계없이 모양이 같다.

닮음의 기호

$ \triangle ABC $와 $ \triangle DEF $가 서로 닮은 도형일 때, 기호 $\sim$ 를 사용하여 다음과 같이 나타냅니다. (기호 $\sim$는 Similar(닮은)의 첫 글자 S를 옆으로 뉘어 놓은 모양으로 만들었습니다.)

  • $ \triangle{ABC} \sim \triangle{DEF} $
    대응점의 순서에 맞춰 적어야 합니다.

닮음 용어

  1. 대응점 : 점 A와 점 D, 점 B와 점 E, 점 C와 점 F
  2. 대응변 : $\overline{AB}$와 $\overline{DE}$, $\overline{BC}$와 $\overline{EF}$, $\overline{AC}$와 $\overline{DF}$
  3. 대응각 : $\angle A$와 $\angle D$, $\angle B$와 $\angle E$, $\angle C$와 $\angle F$
도형의 닮음 용어

[참고] 기호의 구별

$ \triangle ABC $와 $ \triangle DEF $에 대하여.

  1. 닮음일 때 $ \Rightarrow\ \triangle ABC \sim \triangle DEF $
  2. 합동일 때 $ \Rightarrow\ \triangle ABC \equiv \triangle DEF $
  3. 넓이가 같을 때 $ \Rightarrow\ \triangle ABC = \triangle DEF $

평면도형의 닮음

평면도형에서 닮음의 성질

서로 닮은 두 평면도형 $\triangle{ABC} \sim \triangle{DEF}$에 대하여 다음이 성립합니다.

  1. 대응변의 길이의 비는 일정하다.
    $\overline{AB}:\overline{DE}=\overline{BC}:\overline{EF}=\overline{AC}:\overline{DF}$
  2. 대응각의 크기는 각각 같다.
    $\angle A=\angle D,\ \angle B=\angle E,\ \angle C=\angle F$
평면도형에서 닮음의 성질

평면도형에서 닮음비

서로 닮은 두 평면도형에서 대응변의 길이의 비를 닮음비라고 합니다.

  1. 닮음비는 가장 간단한 자연수의 비로 나타낸다.
  2. 닮음비가 $1:1$인 두 도형은 합동이다.
  3. 원에서의 닮음비는 반지름의 길이의 비와 같다.

항상 닮음인 평면도형

  1. 두 직각이등변삼각형
  2. 변의 개수가 같은 두 정다각형
  3. 두 원
  4. 중심각의 크기가 같은 두 부채꼴

입체도형의 닮음

입체도형에서 닮음의 성질

서로 닮은 두 입체도형에서

  1. 대응하는 모서리의 길이의 비는 일정하다.
    $\overline{AB} : \overline{A’B’} = \overline{BC} : \overline{B’C’} = \overline{CD} : \overline{C’D’}$
  2. 대응하는 면은 서로 닮은 도형이다.
    $\square ABCD \sim \square A’B’C’D’$, $\square BFGC \sim \square B’F’G’C’$
입체도형에서 닮음의 성질

입체도형에서 닮음비

서로 닮은 두 입체도형에서 대응하는 모서리의 길이의 비를 닮음비라 한다.

항상 닮음인 입체도형

  1. 면의 개수가 같은 두 정다면체
  2. 두 구

닮음비 넓이비 부피비

평면도형의 둘레의 길이와 넓이비

서로 닮은 두 평면도형의 닮음비가 $m:n$이면

  1. 둘레의 길이의 비는 $m:n$
  2. 넓이의 비는 $m^2:n^2$
평면도형의 닮음비 넓이비

입체도형의 겉넓이와 부피비

서로 닮은 두 입체도형의 닮음비가 $m:n$이면

  1. 겉넓이의 비는 $m^2:n^2$
  2. 부피의 비는 $m^3:n^3$
입체도형의 닮음비 부피비

[출처: 개념원리]

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