닮음 응용, 평행선과 선분의 길이의 비

평행선과 선분의 길이의 비 총정리 (닮음 증명)

평행선과 선분의 길이비는 중학교 도형 단원에서 닮음과 비례의 핵심 개념을 이해하기 위한 중요한 내용입니다. 평행선과 잘린 선분의 위치에 따라서 잘려진 선분은 다양하게 나타날 수 있어 개별적으로 학습하는 것은 비효율적입니다. 따라서 위의 상황을 두 가지 상황으로 나누고 특수한 상황을 증명한 다음 일반화 시켜 정리해 보도록 하겠습니다. 이러한 과정을 거치면 기억하기 쉽고 다양한 상황에 적용할 수 있는 개념을 구성할 수 있습니다.

개요

평행선으로 잘린 선분의 길이비는 아래의 두 상황에 대해 다루면 충분합니다.

  1. 두 개의 짧은 선분 사이의 길이 비
  2. $\bbox[#b2f7b1]{\text{긴 선분}}$과 $\bbox[#fccbb7]{\text{짧은 선분}}$의 길이 비
평행선과 선분의 길이의 비 2 확장
평행선과 선분의 길이의 비 1 확장

이제 위의 두 가지 상황에서 다음의 핵심개념이 성립하는지 확인해 보도록 하겠습니다.

  1. 평행한 직선으로 잘르면 $\Rightarrow$ 선분은 비율이 일정
  2. 잘려진 선분의 비율이 일정 $\Rightarrow$ 자르는 직선이 평행

평행선과 선분의 길이의 비1

두 짧은 선분의 비율과 관련된 사실에 대하여 다음과 같은 핵심개념이 성립하는지 확인해 보겠습니다.

  1. 평행한 직선으로 잘르면 $\Rightarrow$ 선분은 비율이 일정
  2. 잘려진 선분의 비율이 일정 $\Rightarrow$ 자르는 직선이 평행

아래와 같은 특수항 상황에서 두 가지 사실을 증명하고 일반적인 상황으로 확장하여 정리하도록 하겠습니다.

짧은 선분의 길이의 비

  1. $\overline{BC}\pa\overline{DE}$ $\Rightarrow$ $\overline{AB} : \overline{AD}$$= \overline{AC} : \overline{AE}$$=\overline{BC} : \overline{DE}$
  2. $\overline{AB} : \overline{AD}$$= \overline{AC} : \overline{AE}$ $\Rightarrow$ $\overline{BC}\pa\overline{DE}$
평행선과 선분의 길이의 비2
평행선과 선분의 길이의 비2 증명

$\overline{BC}\pa\overline{DE}$ $\Rightarrow$ $\overline{AB} : \overline{AD}$$= \overline{AC} : \overline{AE}$$=\overline{BC} : \overline{DE}$

성질 증명

$\triangle ABC \sm \triangle ADE$(AA 닮음)
($\because \angle AED= \angle ACB$, $\angle ADE= \angle ABC$)
$\therefore \overline{AB} : \overline{AD}$$= \overline{AC} : \overline{AE}$$=\overline{BC} : \overline{DE}$

평행선과 선분의 길이의 비2 증명

$\overline{AB} : \overline{AD}$$= \overline{AC} : \overline{AE}$ $\Rightarrow$ $\overline{BC}\pa\overline{DE}$

조건증명

$\overline{AB} : \overline{AD}$$= \overline{AC} : \overline{AE}$ 이면, $\triangle ABC \sm \triangle ADE$ (SAS 닮음)
($\because \angle DAE = \angle BAC$)
$\therefore \angle ADE \sm \angle ABC$(엇각)이고, $\overline{BC} \pa \overline{DE}$

확장

$\overline{AB}$와 $\overline{AC}$를 평행하게 이동하면 위의 특수한 상황을 일반적인 상황으로 생각해 볼 수 있습니다.

평행선과 선분의 길이의 비2 확장

$\overline{AB}$와 $\overline{AC}$의 위치에 따라서 평행선 사이의 선분의 길이비를 정리하면 아래와 같습니다.

(1) ①+③

평행선과 선분의 길이의 비2 확장 2-1

$\overline{AD}:\overline{DB}$$=\overline{AE}:\overline{EC}$

(2) ①+⑤

평행선과 선분의 길이의 비2 확장2-2

$a:b$$=c:d$

(3) ④+⑤

평행선과 선분의 길이의 비2 확장2-3

$a:b$$=c:d$

위의 사실은 다음과 같은 이유로 핵심개념과 일맥상통합니다.

  1. 평행선으로 잘린 짧은 선분 사이 비례식이 성립
  2. (1) ~ (3) 처럼 짧은 선분 사이의 비율이 일정하면, ①+②로 변형 $\Rightarrow$ 평행선

(1)의 직접증명

(1)의 사실을 ①+②을 이용하지 않고 증명하는 과정이 문제에 자주 활용되므로 (1)의 직접 증명과정을 따로 정리하고 마무리 하도록 하겠습니다.

평행선과 선분의 길이 비 증명2

$\overline{DE} \pa \overline{BC}$ $\Rightarrow$ $\overline{AD}:\overline{DB}$$=\overline{AE}:\overline{EC}$

(1) 증명

$\overline{BC} \pa \overline{DE}$, $\overline{BA}$와 평행하고 점$E$를 지나는 직선과 $\overline{BC}$의 교점 $F$에 대하여 $\triangle ADE \sm \triangle EFC$(AA) 이다.
($ \because \angle AED =\angle ECF$, $\angle DAE =\angle FEC$)
$\therefore\overline{AD}:\overline{DB}$$=\overline{AE}:\overline{EC}$이다.

[주의]
$\overline{AD}:\overline{DB}$ $\neq \overline{DE}:\overline{BC}$

평행선과 선분의 길이의 비2

이번에는 평행선이 선분을 자를 때 생기는 $\bbox[#b2f7b1]{\text{긴 선분}}$과 $\bbox[#fccbb7]{\text{짧은 선분}}$의 길이 비에 대하여 아래의 핵심개념이 성립하는지 정리해 보겠습니다.

  1. 평행한 직선으로 잘르면 $\Rightarrow$ 선분은 비율이 일정
  2. 잘려진 선분의 비율이 일정 $\Rightarrow$ 자르는 직선이 평행

짧고 긴 선분의 길이의 비

$\triangle ABC$에서 두 변 $AB$, $AC$ 또는 그 연장선 위에 각각 점 $D$, $E$가 있을 때

  1. 평행선의 성질
    $\overline{BC} \pa \overline{DE}$ $\Rightarrow$ $\overline{AD} : \overline{AB}$$= \overline{AE} : \overline{AC}$$= \overline{DE} : \overline{BC}$
  2. 평행선의 조건
    $\overline{AD} : \overline{AB}$$= \overline{AE} : \overline{AC}$ $\Rightarrow$ $\overline{DE}\pa\overline{BC}$, $\overline{AD} : \overline{AB}$$= \overline{AE} : \overline{AC}$$=\overline{DE} : \overline{BC}$
평행선과 선분의 길이의 비
평행선과 선분의 길이의 비1 증명

$\overline{BC} \pa \overline{DE}$ $\Rightarrow$ $\overline{AD} : \overline{AB}$$= \overline{AE} : \overline{AC}$$= \overline{DE} : \overline{BC}$

성질 증명

$\overline{BC}\pa\overline{DE}$이면 $\triangle ABC \sm \triangle ADE$ (AA 닮음)
($\because \angle ABC = \angle ADE$ (동위각), $\angle A$는 공통)
$\therefore \overline{AD} : \overline{AB}$$= \overline{AE} : \overline{AC}$$= \overline{DE} : \overline{BC}$

평행선과 선분의 길이의 비1 증명

$\overline{AD} : \overline{AB}$$= \overline{AE} : \overline{AC}$ $\Rightarrow$ $\overline{AD} : \overline{AB}$$= \overline{AE} : \overline{AC}$$=\overline{DE}\pa\overline{BC}$, $\overline{DE} : \overline{BC}$

조건증명

$\overline{AD} : \overline{AB} = \overline{AE} : \overline{AC}$이면 $\triangle ABC \sm \triangle ADE$ (SAS 닮음)
($\because \angle A$공통)
$\therefore \overline{DE}:\overline{BC}$$=\overline{AD} : \overline{AB}$$= \overline{AE} : \overline{AC}$이고,
$\angle ABC = \angle ADE$(동위각) 이므로 $\overline{BC}\pa\overline{DE}$

확장

$\overline{AB}$와 $\overline{AC}$를 평행하게 이동하면 위의 특수한 상황을 일반적인 상황으로 확장하여 생각해 볼 수 있습니다.

평행선과 선분의 길이의 비1 확장

$\overline{AC}$의 위치에 따라서 평행선으로 잘린 짧고 긴 선분의 길이비를 정리하면 아래와 같습니다.

(1) ①+②

평행선과 선분의 길이의 비 확장1-1

$\overline{DB}:\overline{DA}$$=\overline{EC}:\overline{EA}$

(2) ②+③

평행선과 선분의 길이의 비 확장1-2

$\overline{DA}:\overline{DB}$$=\overline{EA}:\overline{EC}$

(3) ②+⑤

평행선과 선분의 길이의 비 확장1-3

$a:\bbox[#ffff00]{a+b}$$=c:\bbox[#ffff00]{c+d}$

위의 사실은 아래의 과정을 통해 핵심개념과 일맥상통 합니다.

  1. 평행선으로 잘린 짧고 긴 선분 사이에 위의 비례식이 성립
  2. (1)~(3) 비례식이 성립하면 ②+④ 로 변형 $\Rightarrow$ 평행선

핵심요약

따라서 평행선으로 잘린 선분에 대해 1이 성립하고, 잘린 선분의 비율이 같을 때 2가 성립 합니다.

  1. 평행한 직선으로 자르면 $\Rightarrow$ 선분은 비율이 일정
  2. 잘려진 선분의 비율이 일정 $\Rightarrow$ 자르는 직선이 평행

출처: 개념원리