단항식의 곱셈과 나눗셈 혼합계산 중2

수학에서 실수를 줄이는 가장 좋은 방법은 개념을 정확히 이해하는 것입니다. 단항식의 곱셈과 나눗셈 연산 원리를 차근차근 정리하고, 곱셈과 나눗셈 혼합계산에서 자칫 실수할 수 있는 부분까지 다루었습니다. 학습에 도움이 되길 바랍니다.

다항식 용어 복습 중1

중학교 1학년때 배운 다항식과 관련된 용어를 정리하고 연산에 대하여 살펴보도록 하겠습니다.

항: $\bbox[#ffff00]{\text{수 또는 문자}}$의 $\bbox[#ffc5fd]{\text{곱}}$ 으로만 이루어진 식
- 항의 계수 : 문자에 곱해진 수
- 항의 차수 : 문자가 곱해진 개수
다항식: $\bbox[#ffff00]{\text{항}}$으로만 이루어진 $\bbox[#ffff00]{\text{식}}$
- 단항식: 항 한 개로 이루어진 식
  (주의) 항이 한개만 있어도 다항식이다.

중학교 1학년 다항식의 용어에 대한 자세한 설명과 예시는 아래의 링크를 참고해 주세요.

중학교 1학년 다항식 용어정리

단항식의 곱셈

단항식 $A, B$에 대하여 두 단항식의 곱셈 $A \times B$는 다음과 같이 계산할 수 있습니다.

계수는 계수끼리, 문자는 문자끼리 곱
같은 문자끼리의 곱셈은 지수법칙을 이용하여 간단히 표현

\begin{flalign} 3x^2& \times 4x^3\\[1em]
&\overset{\underset{\mathrm{1}}{}}{=}(3 \times 4)\times(x^2 \times x^3)\\[1em]
&\overset{\underset{\mathrm{2}}{}}{=}12x^5 &&\end{flalign}

단항식의 나눗셈

단항식 $A, B$에 대하여 두 단항식의 나눗셈 $A \div B$는 다음과 같이 표기하고 계산하기로 약속합니다.

$A \div B$ 표기 : $\dfrac{A}{B}$
$A \div B$ 계산
- $\dfrac{A}{B}$ $\rightarrow$ 공통 인수로 약분
- $A \times \dfrac{1}{B}$ ($\dfrac{1}{B}$ : $B$의 역수)
- Long division : 다항식의 나눗셈 (고등학교)

역수의 확장

중학교 에서 역수의 개념은 다음과 같이 확장 됩니다.

초등학교

초등학교에서 분수의 나눗셈을 곱셈으로 고치는 과정에서 분모와 분자를 바꾼 숫자에 대해 배우고 다음과 같이 학습합니다.

분수의 나눗셈 : 분자와 분모를 바꾼 수를 곱한다.

중학교 1학년

중학교 1학년에서 정수와 유리수의 나눗셈 연산을 다루는 과정에서 역수의 개념을 처음으로 도입하고 일차방정식의 해를 일반적으로 표현하는 과정에서 숫자를 대신하는 문자(a)에 대한 역수를 표기하는 방법을 학습하였습니다.

역수의 도입 : 정수와 유리수의 나눗셈
- 정의 : ${\color{#0000ff}\text{어떤 수}}$와 ${\color{#dc143c}\text{곱하여 1이 되는 수}}$를 그 ${\color{#0000ff}\text{수}}$의 ${\color{#dc143c}\text{역수}}$로 정의
역수의 표기 : $ax=b,\;(a\neq0)$ 풀이
- $x=b\times(\text{a의 역수})=a\times \dfrac{1}{b}$

중학교 1학년 학습이 필요한 학생은 아래의 링크를 통해 복습하시길 바랍니다.

중학교 2학년

중학교 2학년 에서는 문자 $a$의 역수 $\dfrac{1}{a}$의 표기 방법을 다음과 같이 단항식(A)에 대한 역수로 확장합니다. 문자에서와 마찬가지로 단항식 $A$가 $0$이 되는 경우 역수는 생각할 수 없습니다.

단항식 $A$의 역수 ($A\neq0$)
- 표기 : $\dfrac{1}{A}$

곱셈과 나눗셈 혼합계산

괄호를 먼저 계산, 거듭제곱은 괄호로 취급
- 곱셈 생략된 부분 $rightarrow$ 괄호로 묶여 먼저 계산된 것으로 취급
- 거듭제곱 : 곱셈이 생략된 식이므로 먼저 계산된 것으로 취급
나눗셈 $\rightarrow$ 역수의 곱 또는 분수로 표현
부호 결정, 숫자는 숫자끼리, 문자는 문자끼리 계산 (교환, 결합 법칙이용)

다음 예를 통해 다항식을 정리하는 방법에 대해 자세히 살펴보기로 합시다.

나눗셈을 역수의 곱으로 변형, 지수법칙을 이용해 괄호 계산

\begin{flalign} 6x^3&y^4\div\bbox[#ffff00]{3x^4y^2}\times(-2xy)^3\\[1em]
&=6x^3y^4\times\bbox[#ffff00]{\dfrac{1}{3x^4y^2}}\times(-8x^3y^3)\cdots(1)\\[1em]
&= – \left( 6 \times \dfrac{1}{3}\times 8 \right) \times \dfrac{x^3y^4\times x^3y^3}{{x^4y^2}}\\[1em]
&=- 16 \times x^2y^5\\[1em]
&=- 16 x^2y^5\\[1em]&&\end{flalign}

분수로 표현 $\rightarrow$ 약분

\begin{flalign} 6x^3&y^4\div\bbox[#ffff00]{3x^4y^2}\times(-2xy)^3\\[1em]
&=\dfrac{6x^3y^4}{\bbox[#ffff00]{3x^4y^2}}\times(-8x^3y^3)\cdots(1)\\[1em]
&=\dfrac{2y^2}{\bbox[#ffff00]{x}}\times(-8x^3y^3)\cdots(1)\\[1em]
&= – ( 2 \times 8 ) \times \{\dfrac{y^2}{x}\times x^3y^3\}\\[1em]
&=- 16 \times x^2y^5\\[1em]
&=- 16 x^2y^5\\[1em]&&\end{flalign}

곱셈의 생략과 연산순서 (주의)

$6x^3y^4\div 3x^4y^2\times(-2xy)^3$에서 생략된 곱셈을 부활시켜 연산을 순서대로 적용하면 위의 결과와 다른 값이 나오는 것을 알 수 있습니다. 어떻게 계산하는 것이 합리적인지에 대해 생각해볼 필요가 있습니다.

\begin{flalign} 6x^3&y^4\div 3x^4y^2\times(-2xy)^3\\[1em]
&=6x^3y^4\div 3 \times x^4y^2\times(-2xy)^3\\[1em]
&=6x^3y^4\times \dfrac{1}{3}\times x^4y^2\times(-2xy)^3&&\end{flalign}

나눗셈 뒤의$\bbox[#ffff00]{3x^4y^2}$은 곱셈이 생략되어 있습니다. 이는 나눗셈보다 먼저 계산하였음을 의미하므로 다음과 같이 해석하기로 약속합니다.