다항식의 사칙연산 (덧셈 뺄셈 곱셈 나눗셈) 계산을 자주 틀리시나요? 단순한 규칙 암기가 아니라, 분배법칙에 숨겨진 원리를 이해하면 실수를 크게 줄일 수 있습니다. 중학교 2학년에서 배우는 다항식 연산은 앞으로의 수학 학습에 중요한 기반이 되므로, 개념을 정확히 정리하고 문제 해결력을 키우는 것이 필요합니다. 지금부터 다항식 연산의 핵심 개념과 실수를 줄이는 노하우를 차근차근 알아보겠습니다.
개요
다항식의 사칙 연산
중학교에서 다항식의 사칙연산은 다음과 같은 과정으로 다루게 됩니다.
- 다항식의 곱셈
- (일차다항식) $\times$ (수) : 중1
- (다항식) $\times$ (단항식) : 중2
- (다항식) $\times$ (다항식) : 중3 (곱셈공식)
- 다항식의 나눗셈
- (일차다항식) $\div$ (수) : 중1 (일차식)
- (다항식) $\div$ (단항식) : 중2
- (다항식) $\div$ (다항식) : 고1
- 다항식의 덧셈, 뺄셈
- 일차식의 덧셈 뺄셈 : 중1
- 일반적인 다항식의 덧셈 뺄셈 : 중2
다항식의 시칙연산 기본원리
다항식의 사칙연산은 다음의 분배법칙과 밀접한 관련이 있습니다.
- 분배법칙 : $(a+b)\times x=ax+bx$
- 괄호를 푸는 분배법칙 (중2 : 전개)
$(a+b)\times x \xrightarrow[]{\text{분배법칙}} ax+bx$ - 공통인수로 묶는 분배법칙 (중3 : 인수분해)
$ax+bx \xrightarrow[]{\text{분배법칙}}(a+b)\times x $
- 괄호를 푸는 분배법칙 (중2 : 전개)
참고로 분배 법칙은 뺄셈에서도 가능하고 다음과 같이 정리 하기도 합니다.
- $(a \pm b)\times x = ax \pm bx$(복호동순)
복호동순 : 중복된 부호는 동일한 순서
일차식의 사칙연산 (중1 복습)
중학교 1학년의 다항식의 사칙연산에 대해 간단히 정리하고 중학교 2학년 범위로 확장해 가도록 하겠습니다. 1학년 복습이 필요하면 아래의 링크를 이용해 주세요.
일차식 $\times,\div$ 수
중학교 1학년 때 다항식에 수를 곱하거나 나누는 경우 분배법칙을 이용해 다음과 같이 정리하였습니다.
$\begin{align} (2x-1)\times(-2)=&(\bbox[#ffff00]{2x}^+\bbox[#dcff8c]{-1})\times(\bbox[#ffc5fd]{-2})\\[1em]
=&\bbox[#ffff00]{-4x}^+\bbox[#dcff8c]{+2}\end{align}$
$\begin{align}(3x&-6)\div \left(\bbox[#ffc5fd]{-\dfrac{3}{2}}\right)\\[1em]
&=(\bbox[#ffff00]{3x}^+\bbox[#dcff8c]{-6})\times\left(\bbox[#ffc5fd]{-\dfrac{2}{3}}\right)\\[1em]
&=\bbox[#ffff00]{-2x}^+\bbox[#dcff8c]{+4} \end{align}$
일차식의 덧셈 뺄셈 (동류항)
문자가 동일하면 공통인수로 묶는 분배법칙을 이용할 수 있으므로 일차식의 덧셈과 뺄셈을 다음과 같이 간단히 나타낼 수 있습니다.
- $3\bbox[#ffff00]{x}-2\bbox[#ffff00]{x}=(3-2)\bbox[#ffff00]{x}=x$
문자가 포함된 식에서 분배 법칙을 이용할 수 있는 항을 ‘동류항’이라고 하고 다음과 같이 정의 하였습니다.
- 동류항 : 문자의 $\bbox[#ffff00]{\text{종류}},\;\bbox[#dcff8c]{\text{개수}}$가 같은 항
상수항은 문자가 0개 곱해진 항으로 취급하고,상수항은 서로 동류항이다.
예제
$-2(x+1)+(-x+2)$를 계산하는 과정을 통해 복습을 마무리 하도록 하겠습니다.
- 분배법칙 : 괄호풀기
- 분배법칙 : 공통인수로 묶기 (동류항 계산)
$\begin{align}-2&(x+1)+(-x+3)\\[1em]
&=\bbox[#ffc5fd]{-2}(\bbox[#ffff00]{x}^+\bbox[#dcff8c]{+1})^+\bbox[#ffc5fd]{+1}(\bbox[#ffff00]{-x}^+\bbox[#dcff8c]{+3})\cdots(1)\\[1em]
&=\bbox[#ffff00]{-2x}^+\bbox[#dcff8c]{-2}^+\bbox[#ffff00]{-x}^+\bbox[#dcff8c]{+3}\cdots(2)\\[1em]
&=\{\bbox[#ffff00]{-2x}^+\bbox[#ffff00]{-x}\}^+\{\bbox[#dcff8c]{-2}^+\bbox[#dcff8c]{+3}\}\cdots(3)\\[1em]
&=\bbox[#ffff00]{-3x}^+\bbox[#dcff8c]{+1} \end{align}$
다항식의 곱셈과 나눗셈
다항식의 곱셈과 나눗셈은 중학교 2학년에서 다음과 같이 확장하여 다루게 됩니다.
- 중학교 1학년 : (일차식)$\times,\div$(수)
- 중학교 2학년 : (다항식)$\times,\div$(단항식)
다항식 $\times$ 단항식
$\bbox[#ffff00]{\text{단항식 A, B, C}}$에 대하여 다음 곱셈을 정리해 봅시다.
- $\bbox[#ffff00]{A}\times(B+C)=\bbox[#ffff00]{A}B+\bbox[#ffff00]{A}C$
- $(B+C)\times \bbox[#ffff00]{A}=B\bbox[#ffff00]{A}+ C\bbox[#ffff00]{A}=\bbox[#ffff00]{A}B+\bbox[#ffff00]{A}C$
전개와 전개식
위의 사실을 토대로 주어진 연산을 수행하면 다음과 같이 식을 정리할 수 있습니다.
- $3x(x-y-1)\xrightarrow[\color{blue}{\text{전개}}]{\text{분배법칙}} \bbox[#ffff00]{3x^2-3xy-3x}$
위의 식에서 분배법칙을 이용해 하나의 다항식으로 나타내는 과정을 $\color{blue}{\text{전개}}$라고 하고 전개하여 얻은 다항식을 $\bbox[#ffff00]{\text{전개식}}$이라 합니다.
다항식 $\div$ 단항식
$\bbox[#ffff00]{\text{단항식 A, B, C, D}}$에 대하여 나눗셈은 다음 두 방법을 계산할 수 있습니다.
- 분수로 변형, 약분
\begin{flalign}(A+&B{\color{red}-}C)\div D=\dfrac{A+B{\color{red}-}C}{D}\\[1em]
&=\dfrac{A}{D}+\dfrac{B}{D}{\color{red}-}\dfrac{C}{D}&&\end{flalign}
- 역수의 곱 계산
\begin{flalign}(A+&B{\color{red}-}C)\div D=(A+B{\color{red}-}C)\times \dfrac{1}{D}\\[1em]
&=A\times\dfrac{1}{D}+B\times\dfrac{1}{D}{\color{red}-}C\times\dfrac{1}{D}&&\end{flalign}
예시
- 분수변형 후 약분
\begin{flalign}(4x^3&{\color{red}-}6x^2{\color{red}+}8x)\div4x\\[1em]
&=\dfrac{4x^3{\color{red}-}6x^2{\color{red}+}8x}{4x}\\[1em]
&=\dfrac{4x^3}{4x}{\color{red}-}\dfrac{6x^2}{4x}{\color{red}+}\dfrac{8x}{4x}\\[1em]
&=x^2{\color{red}-}\left(\dfrac{3}{2}x\right){\color{red}+}2&&\end{flalign}
- 역수의 곱 : 나누는 다항식이 분수형태인 경우
\begin{flalign}(3x^3y&{\color{red}-}2x)\div\dfrac{x}{2}\\[1em]
&=(3x^3y{\color{red}-}2x)\times \dfrac{2}{x}\\[1em]
&=3x^3y\times\dfrac{2}{x}{\color{red}-}2x\times \dfrac{2}{x}\\[1em]
&=6x^2y{\color{red}-}4&&\end{flalign}
다항식의 덧셈 뺄셈
중학교 2학년 다항식의 덧셈 뺄셈은 중학교 1학년의 내용을 다음과 같이 확장하여 다룹니다.
- 중1 : 일차식의 덧셈과 뺄셈
- 중2 : 일반적인 다항식, 이차식의 덧셈과 뺄셈
다항식의 덧셈과 뺄셈의 이론적인 토대는 분배법칙이고 덧셈과 뺄셈은 중1 에서 배운 내용과 동일합니다.
다항식의 덧셈과 뺄셈
- 괄호를 푸는 분배법칙 (전개)
- 동류항 끼리 계산
- 동류항 : 문자와 차수가 각 각 같은 항
- 뺄셈 $\rightarrow$ 항의 덧셈
- 내림차순으로 정리(차수가 높은 항부터 낮은 항 순서로 정리)
예시
\begin{flalign} (&3y^2-2y+2)-(y^2+5y-6)\\[1em]
&=\bbox[#ffff00]{3y^2}^+\bbox[#dcff8c]{-2y}^+\bbox[#94feff]{+2}^+\bbox[#ffff00]{-y^2}^+\bbox[#dcff8c]{-5y}^+\bbox[#94feff]{+6}\\[1em]
&=(\bbox[#ffff00]{3y^2}^+\bbox[#ffff00]{-y^2})+(\bbox[#dcff8c]{-2y}^+\bbox[#dcff8c]{-5y})+(\bbox[#94feff]{+2}^+\bbox[#94feff]{+6})\\[1em]
&=\bbox[#ffff00]{2y^2}\bbox[#dcff8c]{-7y}\bbox[#94feff]{+8}&&\end{flalign}
다항식의 혼합연산
다항식의 혼합연산에서 거듭제곱은 곱셈연산을 가장 먼저 수행한 것으로 생각하여 가장 먼저 계산해 줍니다. 나머지 과정은 앞서 정리한 다항식의 연산 과정과 동일합니다.
- 곱셈이 생략, 거듭제곱 : 소괄호 취급, 가장 먼저 계산
- $x^2y \div \bbox[#ffff00]{xy}=\dfrac{x^2y}{\bbox[#ffff00]{xy}}$
- $x^2y^4 \div \bbox[#ffff00]{(2x)^2}=\dfrac{x^2y^4}{\bbox[#ffff00]{(2x)^2}}$
- 괄호를 푸는 분배법칙 (전개)
- 동류항 끼리 계산
- 동류항 : 문자와 차수가 각 각 같은 항
- 뺄셈 $\rightarrow$ 항의 덧셈
- 내림차순으로 정리(차수가 높은 항부터 낮은 항 순서로 정리)
분수식 계산시 주의사항
분모가 다른 경우 통분을 이용해 다음과 같이 식을 정리할 수 있습니다. 다음 예시를 통해 분수식 계산시 주의해야 할 사항을 정리해 봅시다.
\begin{flalign}\dfrac{\bbox[#ffff00]{2x-3y}}{2}&-\dfrac{\bbox[#dcff8c]{3x-2y}}{6}\\[1em]
&=\dfrac{3(\bbox[#ffff00]{2x-3y})-(\bbox[#dcff8c]{3x-2y})}{6}\cdots(1)\\[1em]
&=\dfrac{6x-9y-3x+2y}{6}\\[1em]
&=\dfrac{3x-7y}{6}=\dfrac{1}{2}x-\dfrac{7}{6}y\\[1em]
&\neq \dfrac{x-7y}{2} \cdots(2)&&\end{flalign}
[분수식 계산시 주의할 사항]
- 통분 : (분모), (분자)를 괄호로 묶어서 식을 변형
- 약분 : 모든 항이 약분 가능할 때만 약분가능
