다항식의 덧셈과 뺄셈, 식을 정리하는 방법 (고1)

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고등학교 다항식이 복잡하다고 생각되신다면, 아마 중학교 때보다 많아진 문자 때문일 겁니다. 고등학교에서는 여러 문자가 섞인 다항식을 다루면서 용어나 정리 방식도 조금 더 체계적으로 확장됩니다. 이 글을 통해 다항식의 기본 개념부터 다항식을 내림차순, 오름차순으로 정리하는 방법, 다항식의 덧셈과 뺄셈의 원리까지 차근차근 살펴보면서 복잡한 다항식도 쉽게 정리할 수 있는 자신감을 얻어가시길 바랍니다.

다항식 용어확장

다항식의 용어는 다음과 같이 고등학교에서 확장하여 적용합니다.

  1. 중학교: 한 문자에 대한 다항식 용어 사용
  2. 고등학교: $\bbox[#ffff00]{\text{여러 가지 문자}}$에 대한 용어

여러가지 문자가 포함된 다항식에서 용어는 다음과 같습니다.

항에 관련된 용어

먼저 항에 관련된 용어를 정리해 봅시다. 항은 중학교의 정의를 그대로 사용합니다.

  1. 항: 수 또는 문자의 곱으로만 이루어진 식

고등학교에서는 여러 문자가 포함된 식을 주로 다루기 때문에 항과 관련된 용어를 $\bbox[#ffff00]{\text{특정한 문자}}$를 기준으로 다음과 같이 확장하여 적용합니다.

  1. $\bbox[#ffff00]{\sim}$에 대한 항의 계수:$\bbox[#ffff00]{\text{특정한 문자}}$를 제외한 나머지 부분
  2. $\bbox[#ffff00]{\sim}$에 대한 항의 차수: $\bbox[#ffff00]{\text{특정한 문자}}$에 대한 차수
    • $\bbox[#ffff00]{\sim}$에 대한 n차항 : 항의 차수가 n차인
  3. 상수항: $\bbox[#ffff00]{\text{특정한 문자}}$를 포함하지 않는 항

다항식에 관련된 용어

다항식과 단항식은 중학교에서 정의한 용어를 그대로 사용합니다.

  1. 다항식 : 한 개 또는 두 이상의 항의 합으로 이루어진 식
    • 단항식: 한 개의 항으로만 이루어진 식

고등학교에서 다항식과 관련된 용어도 $\bbox[#ffff00]{\text{특정한 문자}}$를 기준으로 다음과 같이 더 정확히 정의 합니다.

  1. $\bbox[#ffff00]{\sim}$에 대한 다항식의 차수: $\bbox[#ffff00]{\text{특정한 문자}}$에 대한 항의 최대 차수
    • $\bbox[#ffff00]{\sim}$에 대한 n차식: $\bbox[#ffff00]{\text{특정한 문자}}$에 대한 다항식의 차수가 n차인 다항식
  2. $\bbox[#ffff00]{\sim}$에 대한 동류항: $\bbox[#ffff00]{\text{특정한 문자}}$에 대한 차수가 같은 항

적용

1. $2x^3y$에 용어를 적용

  1. 단항식, 다항식
  2. $x$에 대한 삼차식이고, 계수는 $2y$
  3. $y$에 대한 일차식이고, 계수는 $2x^3$
  4. x, y에 대한 사차식이고, 계수는 2

2. $3x^3y+3xy-y^2-3x-7$에 용어를 적용

  1. $x$에 대한 삼차식이고, 상수항은 $-y2-7$
  2. $y$에 대한 이차식이고, 상수항은 $-3x-7$
  3. $x,y$에 대한 사차식이고, 상수항은 $-7$
  4. 동류항
    • $x$에 대한 동류항: $3xy$, $-3x$
    • $y$에 대한 동류항: $3x^3y$, $3xy$

다항식을 정리하는 방법

다항식은 동류항끼리 모아 정리하여 간단히 나타낼 수 있습니다. 이 때 한 문자를 기준으로 항의 차수가 높은(낮은)순서대로 정리 할 수 있습니다.

  1. 내림차순 정리: 한 문자에 대해 차수가 높은 항부터 낮은 항의 순서로 정리하는 것
  2. 오름차순 정리: 한 문자에 대해 차수가 낮은 항부터 높은 항의 순서로 정리하는 것

특별한 의도가 없다면 다항식은 내림차순으로 정리하고, 문자가 두 개 이상인 경우 $\bbox[#ffff00]{\text{특정한 문자}}$에 대해 다음과 같이 용어를 사용하기로 약속합니다.

  • $\bbox[#ffff00]{\sim}$에 대한 내림차순, $\bbox[#ffff00]{\sim}$에 대한 오름차순

내림차순 오름차순 정리하기

1. 한 문자로 구성된 다항식

$-5x+x^2-4-3x^3$에 대하여

  1. 내림차순 정리: $-3 x^3+x^2-5x-4$
  2. 오름차순 정리: $-4-5x+x^2-3x^3$

2. 문자가 2개 이상인 다항식

문자가 두 개 이상인 경우 차수의 기준이 되는 문자를 제외한 나머지 문자는 상수로 생각하여 정리합니다.

$x^2-y^2+2xy-4y+5$에 대하여

  1. $x$에 대한 내림차순: $x^2+2xy\bbox[#ffff00]{-y^2-4y+5}$
  2. $x$에 대한 오름차순: $\bbox[#ffff00]{-y^2-4y+5}+2xy+x^2$
    • $\bbox[#ffff00]{\text{상수항}}$: $y$에 대한 특별한 언급이 없으므로 상수항을 정리할 때 $y$에 대해 내림차순으로 정리하는 것이 맞습니다.
  3. $y$에 대한 내림차순: $-y^2{\color{red}+}\bbox[#dcff8c]{(2x-4)y}+x^2+5$
    • $\bbox[#dcff8c]{\text{동류항}}$: $y$의 동류항을 계산할 때 $y$로 묶는 분배법칙을 적용하고, $\color{red}+$로 묶어 정리하는 것이 원칙입니다. 계수 부분은 $x$에 대한 내림차순으로 정리합니다.
  4. $y$에 대한 오름차순: $x^2+5+(2x-4)y-y^2$

다항식 연산의 기본원리

문자가 포함된 식에서 괄호를 풀어내는 유일한 방법으로 분배법칙을 중학교 1학년에 배웁니다. 분배법칙은 괄호를 풀어내는 과정만 의미하는 것이 아니고 공통인수로 묶어내는 반대 과정도 분배법칙입니다. 이 법칙은 동류항 계산(중1), 전개식(중2), 인수분해(중3)의 원리이며 수식을 다루는데 핵심이 됩니다.

분배법칙 : $(a+b)\times x=ax+bx$에 대하여

  1. 괄호를 푸는 분배법칙(중1) $\rightarrow$ 전개식(중2)
    $(a+b)\times x \xrightarrow[]{\text{분배법칙}} ax+bx$
  2. 공통인수로 묶는 분배법칙, 동류항 계산(중1) $\rightarrow$ 인수분해 (중3)
    $ax+bx \xrightarrow[]{\text{분배법칙}}(a+b)\times x $

다항식의 덧셈과 뺄셈

다항식의 덧셈과 뺄셈은 중학교에서 이미 다음과 같이 학습하였습니다. 고등학교에서는 $\bbox[#ffff00]{\text{특정한 문자}}$에 대한 동류항을 분배법칙을 이용해 계산하는 과정이 추가됩니다.

  1. 괄호를 푸는 분배법칙 (전개)
  2. 동류항 끼리 계산
    • 동류항 : 문자와 차수가 각 각 같은 항
    • 뺄셈 $\rightarrow$ 항의 덧셈
  3. 내림차순으로 정리

다항식의 덧셈과 뺄셈 적용

두 다항식 $A=3x^2+4xy-y^2$, $B=x^2-2xy+3y^2$, $C=-x^2-3$에 대하여

\begin{flalign} &A+B\\[1em]
&\quad=(3x^2+4xy-y^2)+(x^2-2xy+3y^2)\\[1em]
&\quad=(3+1)x^2+(4-2)xy+(-1+3)y^2\\[1em]
&\quad=4x^2+2xy+2y^2&&\end{flalign}

\begin{flalign} &B+A\\[1em]
&\quad=(x^2-2xy+3y^2)+(3x^2+4xy-y^2)\\[1em]
&\quad=(3+1)x^2+(4-2)xy+(-1+3)y^2\\[1em]
&\quad=4x^2+2xy+2y^2&&\end{flalign}

위의 결과로 부터 두 다항식 $A,\;B$에 대하여 덧셈에 대한 교환법칙이 성립함을 알 수 있습니다.

  • $A+B=B+A$

\begin{flalign} &(\bbox[#ffff00]{A+B})+C\\[1em]
&\quad=\{\bbox[#ffff00]{(3x^2+4xy-y^2)+(x^2-2xy+3y^2)}\}\\[1em]
&\quad\quad\quad\quad\quad\quad+(-x^2-3)\\[1em]
&\quad=\{\bbox[#ffff00]{(3+1)x^2+(4-2)xy+(-1+3)y^2}\}\\[1em]
&\quad\quad\quad\quad\quad\quad+(-x^2-3)\\[1em]
&\quad=(\bbox[#ffff00]{4x^2+2xy+2y^2})+(-x^2-3)\\[1em]
&\quad=3x^2+2xy+2y^2-3&&\end{flalign}

\begin{flalign} &A+(\bbox[#ffff00]{B+C})\\[1em]
&\quad=(3x^2+4xy-y^2)\\[1em]
&\quad\quad\quad+\{\bbox[#ffff00]{(x^2-2xy+3y^2)+(-x^2-3)}\}\\[1em]
&\quad=(3x^2+4xy-y^2)\\[1em]
&\quad\quad\quad+\{\bbox[#ffff00]{(1-1)x^2-2xy+3y^2-3}\}\\[1em]
&\quad=(3x^2+4xy-y^2)\\[1em]
&\quad\quad\quad+\{\bbox[#ffff00]{-2xy+3y^2-3}\}\\[1em]
&\quad=3x^2+(4-2)xy+(-1+3)y^2-3\\[1em]
&\quad=3x^2+2xy+2y^2-3&&\end{flalign}

위의 결과로 부터 세 다항식 $A,\;B,\;C$에 대하여 덧셈에 대한 결합법칙이 성립함을 알 수 있습니다.

  • $(A+B)+C=A+(B+C)$

\begin{flalign} &3(A+B)\\[1em]
&\quad=3\{(3x^2+4xy-y^2)+(x^2-2xy+3y^2)\}\\[1em]
&\quad=3\{(3+1)x^2+(4-2)xy+(-1+3)y^2\}\\[1em]
&\quad=3(4x^2+2xy+2y^2)\\[1em]
&\quad=12x^2+6xy+6y^2&&\end{flalign}

\begin{flalign} &3A+3B\\[1em]
&\quad=3(3x^2+4xy-y^2)+3(x^2-2xy+3y^2)\\[1em]
&\quad=(9x^2+12xy-3y^2)+(3x^2-6xy+9y^2)\\[1em]
&\quad=(9+3)x^2+(12-6)xy+(-3+9)y^2\\[1em]
&\quad=12x^2+6xy+6y^2&&\end{flalign}

위의 결과로 부터 두 다항식 $A,\;B$와 상수$k$에 대하여 분배법칙이 성립함을 알 수 있습니다.

  • $k\times(A+B)=k\times A+k\times B$

다항식의 덧셈 연산법칙

세 다항식 $A,\;B,\;C$와 상수 $k$에 대하여 다음 연산법칙이 성립합니다.

  1. 다항식 덧셈 교환법칙: $A+B=B+A$
  2. 다항식 덧셈 결합법칙: $(A+B)+C=A+(B+C)$
  3. 상수의 분배법칙: $k(A+B)=kA+kB$

마무리

지금까지 다항식의 용어, 정리법, 덧셈·뺄셈의 원리와 연산법칙까지 살펴보았습니다. 반복되는 개념처럼 보여도, 하나하나 이해하고 정리해두면 고등수학의 기초를 단단히 다질 수 있습니다. 이외에도 다항식의 곱셈, 인수분해 등 다음 단계로 이어지는 개념들도 함께 정리할 예정이니, 꼭 북마크해 두고 다음 글도 기대해주세요.

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