중학교 수학에서 다항식의 곱셈과 곱셈공식은 이후 이어지는 인수분해, 이차방정식, 함수 단원의 토대가 되는 핵심 개념입니다. 단순히 공식을 외우는 방식으로 접근하면 조금만 형태가 바뀌어도 막히게 되지만, 분배법칙과 넓이의 관계를 통해 원리를 이해하면 어떤 변형 문제도 스스로 풀어낼 수 있습니다.
이 글에서는 (다항식)×(다항식)의 전개 원리부터 시작해 제곱공식, 합차공식, 방정식 유형까지 각 공식이 왜 성립하는지를 그림과 함께 단계적으로 설명합니다. 공통부분 치환을 이용한 복잡한 식의 전개까지 익히고 나면, 곱셈공식 전체를 유기적으로 이해할 수 있을 것입니다.
목차
(다항식)×(다항식)
다항식의 곱셈은 다음과 같은 방법으로 생각할 수 있습니다.
$(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd$
$(a+b)(c+d)$를 전개하는 과정은 다양한 방법으로 생각해 볼 수 있습니다.
넓이를 이용한 방법
$(a+b)(c+d)$는 가장 큰 직사각형의 넓이이고, 따라서
$(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd$입니다.
치환을 이용한 방법
$c+d \Rightarrow M$으로 두면,
- $(a+b)(c+d)=(a+b)M=aM+bM$
$=a(c+d)+b(c+d)=ac+ad+bc+bd$
방법1과 방법2를 통해 (다항식)$\times$(다항식)에서 분배법칙은 다음과 같은 방법으로 전개할 수 있고 항이 3개인 경우도 동일하게 전개할 수 있음을 직관적으로 알 수 있습니다.
[예제] 다항식의 분배법칙을 이용해 $(2x+y)(3x-5y)$을 정리하여라.
풀이
$(2x+y)(3x-5y)$
$=6x^2-10xy+3xy-5y^2$
$=6x^2-7xy-5y^2$
제곱공식
$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$
$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$
제곱공식은 전개와 사각형의 넓이를 이용해 다음과 같이 보일 수 있습니다.
넓이를 이용한 방법
$(a+b)^2$은 한 변의 길이가 $(a+b)$인 가장 큰 정사각형의 넓이와 같고 따라서 다음과 같이 정리할 수 있습니다.
$(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$
$(a-b)^2$은 한 변의 길이가 $(a-b)$인 색칠한 정사각형의 넓이와 같고 다음과 같이 정리할 수 있습니다.
$(a-b)^2 = a^2-2ab+b^2$
분배법칙으로 전개
$(a+b)(c+d)$에 적용했던 분배법칙을 적용하면 다음과 같이 전개할 수 있습니다.
- $(a+b)^2=(a+b)(a+b)=a^2+2ab+b^2$
- $(a-b)^2=(a-b)(a-b)=a^2-2ab+b^2$
$(a+b)^2$을 이용해 $(a-b)^2$보이기
$(a+b)^2=(a+b)(a+b)=a^2+2ab+b^2$에서 $b \rightarrow -b$를 대입하면 다음과 같은 식을 얻을 수 있습니다.
$\{a+(-b)\}^2$
$=a^2+2a(-b)+(-b)^2$
$=a^2-2ab+b^2$
$(-a-b)^2$, $(-a+b)^2$
$(-a-b)^2$, $(-a+b)^2$와 같은 제곱도 $(a+b)^2$과 $(a-b)^2$을 이용해 다음과 같이 계산할 수 있습니다.
- $(-a-b)^2=\{-(a+b)\}^2=(a+b)^2$
- $(-a+b)^2=\{-(a-b)\}^2=(a-b)^2$
다음과 같이 식을 변형하지 않도록 주의해야 합니다.
- $(a+b)^2 \neq a^2+b^2$이고 $(a-b)^2 \neq a^2-b^2$
합차공식
$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$
합차공식은 다음과 같은 방법으로 이해할 수 있습니다.
넓이를 이용하는 방법
$(a+b)(a-b)$는 색칠한 직사각형의 넓이와 같고, 이 직사각형의 넓이는 다시 왼쪽과 오른쪽의 직사각형 넓이를 합과 같습니다.
$(a+b)(a-b)=a(a-b)+b(a-b)=a^2-b^2$
방법2
분배법칙을 이용해 전개하면 다음과 같이 동일한 결과를 얻을 수 있습니다.
$(a+b)(a-b)=a^2-ab+ab-b^2=a^2-b^2$
다음과 같은 상황에서도 합차공식을 적용해 식을 다음과 같이 이용할 수 있습니다.
- $(-a+b)(-a-b)=(-a)^2-b^2=a^2-b^2$
- $(-a-b)(a-b)=(-b)^2-a^2=-a^2+b^2$
합차공식을 적용하는 과정에서 위와 같은 형식까지 넓히려면 다음과 같이 이해하면 좋습니다.
부호가 일정한 부분과 부호가 반대인 부분이 있는 두 식을 곱하면 $(\text{부호가 동일한 부분})^2-(\text{부호가 반대인 부분})^2$이다.
두 일차식의 곱
$(x+a)(x+b)=x^2+(a+b)x+ab$
$(x+a)(x+b)$과 같은 방정식 유형을 전개하면 다음과 같은 결과를 얻을 수 있습니다.
- $(x+a)(x+b)=x^2+ax+bx+ab=x^2+(a+b)x+ab$
넓이를 이용
가장 큰 사각형의 넓이는 $(x+a)(x+b)$이고 이 넓이는 작은 네 사각형의 넓이의 합으로 나타낼 수 있습니다.
- $(x+a)(x+b)=x^2+(a+b)x+ab$
즉, $x$의 계수는 두 상수의 합$(a+b)$이고, 상수항은 두 상수의 곱$(ab)$임을 기억해 두면 이차식을 인수분해 하는 과정에 도움이 됩니다.
$(ax+b)(cx+d)$의 전개
$(ax+b)(cx+d)$를 분배법칙을 이용해 전개하면 다음과 같은 결과를 얻을 수 있습니다.
- $(ax+b)(cx+d)=acx^2+(ad+bc)x+bd$
넓이를 이용
가장 큰 정사각형의 넓이가 $(ax+b)(cx+d)$이므로 직사각형의 넓이를 직접 계산하면 다음이 성립합니다.
$(ax+b)(cx+d)$$=acx^2+adx+bcx+bd$$=acx^2+(ad+bc)x+bd$
복잡한 식의 전개
공통부분이 있는 식의 전개
공통부분을 한 문자로 놓고 전개합니다.
[예제] $(x+y+1)(x+y-1)$을 전개하여라
풀이
$x+y\Rightarrow A$로 놓으면
$(x+y+1)(x+y-1)=(A+1)(A-1) = A^2-1$이고 $A \Rightarrow x+y$를 대입하면,
$(x+y)^2-1 = x^2+2xy+y^2-1$
네 개의 일차식의 곱으로 된 식의 전개
공통부분이 나오도록 2개씩 짝을 지어 전개합니다.
[예시] $(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)$를 전개하여라.
풀이
$(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)$, 공통부분이 나오도록 짝지으면,
$= \{(x+1)(x+4)\}\{(x+2)(x+3)\}$, 곱셈공식으로 전개하면,
$= (x^2+5x+4)(x^2+5x+6)$, $x^2+5x\Rightarrow A$
$= (A+4)(A+6)=A^2+10A+24$, $A \Rightarrow x^2+5x$
$= (x^2+5x)^2+10(x^2+5x)+24$, 곱셈공식으로 전개하면
$= x^4+10x^3+35x^2+50x+24$