유리수는 우리가 일상에서 자주 접하는 수지만, 그 특성을 제대로 이해하는 것은 쉽지 않습니다. 유리수는 분수로 표현되는 수인데, 그 소수 형태가 유한소수와 무한소수로 나뉘는 사실을 알고 있나요? 특히, 무한소수 중에서도 ‘순환소수’라는 흥미로운 개념이 있다는 사실도 알고 있었을까요? 오늘은 유리수의 소수 표현을 자세히 살펴보면서, 유한소수 조건 순환소수 조건 까지 살펴보도록 하겠습니다.
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목차
유리수(분수)의 소수 표현(복습)
분수를 나눗셈을 이용해 소수로 표현하는 방법을 초등학교에서 배웠습니다. 이를 유리수에 적용해 유리수를 소수로 표현할 수 있습니다.
유리수 정의
- $\dfrac{b}{a}$ ($a,b :\text{정수},\;a\neq0$)
유리수(분수)의 소수 표현
다음 유리수 $\dfrac{3}{5}, \dfrac{2}{3}, \dfrac{4}{11}$을 직접 나누어 소수로 계산해 봅시다.
$\dfrac{3}{5}=3\div5 \;\;\rightarrow\;\;
\begin{array}{r}0.6\;\\ 5\enclose{longdiv}{3.0}\\
3\;0\,\\
\hline 0\,
\end{array}$
$\dfrac{2}{3}=2\div3 \;\;\rightarrow\;\;
\begin{array}{r}0.666\cdots \\ 3\enclose{longdiv}{2.000\cdots}\\1\;8\;\;\;\;\;\;\;\;\;\\
\hline 20\;\;\;\;\;\;\;\\ 18\;\;\;\;\;\;\;\\
\hline 20\;\;\;\;\;\\18\;\;\;\;\;\\
\hline 2\;\;\;\;\;\\
\cdots\;\;\;
\end{array}$
$\dfrac{4}{11}=4\div11 \;\;\rightarrow\;\;
\begin{array}{r}0.3\,6\,3\,6\,\cdots \\ 11\enclose{longdiv}{4.0\,0\,0\,0\cdots}\\
3\;3\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,\\
\hline 7\,0\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,\\ 6\,6\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,\\
\hline 4\,0\;\;\;\;\;\;\;\;\\3\,3\;\;\;\;\;\;\;\;\\
\hline 7\,0\;\;\;\;\;\,\\ 6\,6\;\;\;\;\;\,\\
\hline 4\;\;\;\;\;\,\\
\cdots\;\;\;
\end{array}$
위의 계산 결과를 정리하면 $\dfrac{3}{5}=0.6, \dfrac{2}{3}=0.666\cdots, \dfrac{4}{11}=0.3636\cdots$ 이고 이를 통해 유리수를 소수로 나타내면 소숫점 아래 $0$이 아닌 수가 유한한수 ($0.6$)와 무한한 수($0.666\cdots, 0.3636\cdots$)가 있음을 알 수 있습니다.
이와 같은 특징을 반영하여 다음과 같이 이름을 붙여 부르기로 하였습니다.
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유한소수와 무한소수의 정의
- 유한소수 : 소수점 아래 $0$이 아닌 숫자가 유한개인 소수
- 무한소수 : 소수점 아래 $0$이 아닌 숫자가 무한개인 소수
유한소수 조건
이제 유한소수와 유리수는 어떤 관계가 있는지 정리해 보기로 합시다.
유한소수 $\xrightarrow[]{\text{항상 변형가능}}$ 유리수
모든 유한소수는 분모를 $10$의 거듭제곱으로 두어 유리수로 바꿀 수 있습니다.
$0.7=\dfrac{7}{10}, \; 0.39=\dfrac{39}{100},\; 0.077=\dfrac{77}{1000}$
유리수$\xrightarrow[]{\text{조건필요}}$유한소수
$\dfrac{2}{3}=0.666\cdots$ 처럼 유리수는 항상 유한소수라고 할 수는 없다. 그렇다면 어떤 $\color{blue}{\text{조건}}$을 만족하는 유리수가 유한소수가 될 수 있는지 생각해 보자.
유한소수 : $\color{blue}{\text{분모가}} 10 \color{blue}{\text{의 거듭제곱}}$인 분수 이므로 $\color{blue}{\text{분모를}} 10 \color{blue}{\text{의 거듭제곱}}$으로 나타낼 수 있는 유리수는 유한소수로 나타낼 수 있다.
분모를 $10$의 거듭제곱으로 만들 수 있는 유리수는 분모에 어떤 인수를 가지고 있을지 예를 통해 생각해 보자.
$\dfrac{15}{12}=\dfrac{5}{4}=\dfrac{5\times\color{blue}{5^2}}{4\times \color{blue}{5^2}}=\dfrac{125}{100}=1.25$
이를 정리하면 다음과 같은 결론을 내릴 수 있다.
$10=2\times5$이므로 $\color{red}{\text{기약분수꼴}}$로 나타낸 $\color{blue}{\text{분모의 소인수가 2나 5뿐}}$이면 다음과 같은 변형을 통해 유한소수로 나타낼 수있다.
유한소수 조건
- $\color{red}{\text{기약분수}}$로 나타낼 때 $\color{blue}{\text{분모의 소인수가 2나 5뿐}}$인 유리수
순환소수 조건
무한소수일 조건
위의 사실을 변형하면 유리수가 무한소수가 되는 조건을 다음과 같이 생각할 수 있습니다.
$\color{blue}{\text{분모의 소인수가 2, 5이 외의 소인수}}$를 갖는 $\color{red}{\text{기약분수}}$는 유한소수로 나타 낼 수 없다. 즉 무한소수이다.
예를 들어 기약분수의 분모에 2,5 이외의 소인수가 있는 $\dfrac{2}{3}=0.666\cdots, \dfrac{4}{11}=0.3636\cdots$는 무한소수가 된다.
무한소수로 표현되는 유리수의 특징
유리수를 나눗셈으로 계산한 결과가 무한소수일 때 다음과 같은 특징을 확인할 수 있습니다.
- 유리수를 나눈 결과가 무한소수이면 반드시 무한소수는 항상 순환 한다.
그렇다면 모든 무한소수로 표현되는 유리수들이 모두 순환 할까? 실제로 무한소수로 표현되는 유리수는 반드시 순환소수임이 알려져 있다. 이제 이 사실을 정리해 보기로 합시다.
$\color{blue}{\text{분모의 소인수가 2, 5이 외의 소인수}}$를 갖는 $\color{red}{\text{기약분수}}$는 순환하는 무한 소수이다.
검증1
$\dfrac{4}{7}$을 예로 살펴 보도록 하겠습니다.
\begin{array}{r}0.{\color{red}5}\,7\,1\,4\,2\,8\,{\color{red}5}\,\cdots \\ 7\enclose{longdiv}{{\color{red}4}.0\,0\,0\,0\,0\,0\,0\cdots}\\
3\;5\quad\quad\quad\quad\quad\;\;\\
\hline {\color{blue}5}\,0\quad\quad\quad\quad\quad \\ 4\,9\quad\quad\quad\quad\quad\\
\hline {\color{blue}1}\,0\quad\quad\quad\quad\; \\ \;\,7\quad\quad\quad\quad\;\\
\hline {\color{blue}3}\,0\quad\quad\quad\;\; \\ 2\,8\quad\quad\quad\;\;\\
\hline {\color{blue}2}\,0\quad\quad\quad \\ 1\,4\quad\quad\quad\\
\hline {\color{blue}6}\,0\quad\quad\; \\ 5\,6\quad\quad\; \\
\hline {\color{red}4}\,0\quad\;\; \\ 3\,5\quad\;\; \\
\cdots\;\;\;
\end{array}
$\dfrac{4}{7}$은 무한소수이고 따라서 무한히 나누어도 떨어지지 않고 계속 무한개의 나머지가 생깁니다. 7로 나눈 나머지는 0을 제외한 1,2,3,4,5,6이 올 수 있습니다. 7로 나눈 나머지는 6개 뿐이므로 무한번 나누다 보면 같은 나머지가 반복해서 등장하게 되고 (위의 예시에서 ${\color{red}4}$) 반복된 나머지의 몫(위의 예시에서 ${\color{red}5}$)은 동일한 값을 갖는다. 다음 나눗셈 연산은 이전의 연산이 반복되고 나눗셈의 몫은 순환한다.
검증2
$\dfrac{4}{11}$을 소수로 계산하는 과정을 살펴보자.
$\begin{array}{r}0.3\,6\,3\,6\,\cdots \\ 11\enclose{longdiv}{4.0\,0\,0\,0\cdots}\\
3\;3\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,\\
\hline \color{blue}{7}\,\color{black}{0}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,\\ 6\,6\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,\\
\hline \color{blue}{4}\,\color{black}{0}\;\;\;\;\;\;\;\;\\3\,3\;\;\;\;\;\;\;\;\\
\hline \color{blue}{7}\,\color{black}{0}\;\;\;\;\;\,\\ 6\,6\;\;\;\;\;\,\\
\hline \color{blue}{4}\;\;\;\;\;\,\\
\cdots\;\;\;
\end{array}$
주어진 수는 유한소수가 아닙니다. 따라서 $11$로 나눈 $\color{blue}{\text{나머지 자리}}$에 $0$이 올 수없습니다. 따라서 $\color{blue}{\text{나머지 자리}}$에는 $1,2,3,4,5,6,7,8,9,10$이 올 수 있다. 나누어 떨어지지 않으므로 나눗셈은 무한번 진행되고 $\color{blue}{\text{나머지 자리}}$도 무한개가 만들어진다.
$1,2,3,4,5,6,7,8,9,10$이 $\color{blue}{\text{나머지 자리}}$에 들어가면 최초로 나머지로 중복되는 수($\color{blue}{7}$)이 존재한다.
최초로 중복되는 나머지($\color{blue}{7}$)이 등장하면, 그 후로는 ‘$\color{red}{\text{나눗셈 연산이 반복}}$’되고 ‘$\color{red}{\text{몫은 순환}}$’하게 된다.
순환소수 정의, 표기법
$\color{blue}{\text{분모의 소인수가 2, 5이 외의 소인수}}$를 갖는 $\color{red}{\text{기약분수}}$를 소수로 나타내면 ‘몫’은 무한 소수이고 순환한다. 이러한 성질을 갖는 무한소수를 ‘$\color{red}{\text{순환소수}}$’로 정의 하기로 하자.
- 순환소수 : 소숫점 아레의 어떤 자리에서부터 일정한 숫자의 배열이 한없이 되풀이되는 소수
- 순환마디 : 소숫점 아래 일정한 숫자의 배열이 한없이 되풀이되는 부분
- 처음으로 반복되는 부분이 순환마디
- 순환마디 숫자 개수에 따른 표기법
- 숫자 1개 : $0.\bbox[#ffff00]{3}33\cdots=0.\dot{3}$
- 숫자 2개 : $0.\bbox[#ffff00]{35}3535\cdots=0.\dot{3}\dot{5}$
- 숫자 3개 : $0.3\bbox[#ffff00]{456}456456\cdots=0.3\dot{4}5\dot{6}$
순환소수 조건
$\color{red}{\text{기약분수}}$로 나타낼 때 $\color{blue}{\text{분모의 소인수가 2, 5이 외의 소인수}}$를 갖는 유리수
유리수의 분류
중학교 1학년
$\text{유리수}\rightarrow\begin{cases}
\text{정수}\rightarrow \begin{cases} \text{양수}\\[1em] 0 \\[1em] \text{음수} \end{cases} \\[2em]
\text{정수가 아닌 유리수}
\end{cases}$
중학교 1학년 에서는 정수를 기준으로 유리수를 정수와 정수가 아닌 유리수로 분류 했다면 중학교 2학년에서는 유리수 $\dfrac{b}{a}$를 $b\div a$로 직접 나누어 소수로 표현하는 방법에 대해 배웁니다.
중학교 2학년
학습한 내용을 토대로 기약분수로 나타낸 유리수는 다음 두 가지 경우로 나누어 정리 할 수 있다.
- $\color{blue}{\text{분모의 소인수가 2나 5뿐}}$인 $\color{red}{\text{기약분수}}$ $\rightarrow $ 유한소수
- $\color{blue}{\text{분모의 소인수가 2, 5이 외의 소인수}}$를 갖는 $\color{red}{\text{기약분수}}$ $\rightarrow$ 순환소수
따라서 유리수는 유한소수와 순환소수로 다음과 같이 정확히 둘로 분류할 수 있다.
$\text{유리수}\begin{cases}
\text{유한소수}
\begin{pmatrix} \color{blue}{\text{기약분수로 표현시 분모}}\\
\color{blue}{\text{소인수 2,5 뿐}}\end{pmatrix} \\[1em]
\text{순환소수}
\begin{pmatrix} \color{blue}{\text{기약분수로 표현시 분모}}\\
\color{blue}{\text{2,5 이외의 소인수}}\end{pmatrix} \\[1em]
\end{cases}$
