연립방정식의 해의 개수 공식 증명

연립방정식을 풀 때마다 계산하고 가감법을 사용해야 해서 귀찮으셨죠? 사실, 해의 개수는 복잡하게 계산하지 않아도 수식만 보고 바로 답을 알 수 있는 간단한 방법이 있습니다. 이 글에서는 ax=b 꼴 방정식의 성질부터 연립방정식 해 판별 공식까지 모든 과정을 쉽게 정리했습니다. 이 공식을 알면 ‘해가 1개인지, 무수히 많은지, 아니면 아예 없는지’를 순식간에 구분할 수 있어 문제 풀이 속도가 확 달라집니다.

단순히 암기하는 것이 아니라, 원리를 이해하며 수식이 자연스럽게 머리에 들어오게 하고 싶다면 끝까지 읽어보세요. 수학 문제를 바라보는 시각이 완전히 달라질 것입니다.

ax=b꼴 방정식

먼저 $\bbox[#ffff00]{a}x=\bbox[#dcff8c]{b}$꼴 방정식의 해에 대해 정리해 봅시다.

1. $\bbox[#ffff00]{a}\neq0$ 경우 (일차방정식 : 해가 1개)
   • $x=b\div\bbox[#ffff00]{a}$
2. $\bbox[#ffff00]{a}=0$인 경우
   • $\bbox[#dcff8c]{b}=0$ 이면 $\bbox[#ffff00]{0}x=\bbox[#dcff8c]{0}$: 해가 무수히 많다.
   • $\bbox[#dcff8c]{b}\neq0$이면 $\bbox[#ffff00]{0}x=\bbox[#dcff8c]{1}$: 해가 없다.

연립일차방정식 유형 (해의 개수)

해가 하나인 경우

해가 하나인 연립일차방정은 다음과 같습니다.

$\begin{cases}3x-2y=5\cdots( ㄱ)\\2x-y=3\cdots(ㄴ)\end{cases}$

$\begin{align}&\quad6x-4y=10\cdots( ㄱ\times2)\\
-)&\quad6x-3y=9\cdots(ㄴ\times3)\\
\hline
&\;\;0x-y=1
\end{align}$ $\therefore\;y=-1$

(ㄱ)에 $y=-1$을 대입: $x=1$
$\therefore\;x=1,\;y=-1$

해가 무수히 많은 경우

연립일차방정식의 해는 미지수가 2개인 일차방정식 2개를 동시에 만족하는 해를 의미합니다. 다음의 문제를 가감법을 이용해 풀어 봅시다.

$\begin{cases}2x-3y=2\cdots( ㄱ)\\4x-6y=4\cdots(ㄴ)\end{cases}$의 $x$를 소거

$\begin{align}&\quad4x-6y=4\cdots( ㄱ\times2)\\
-)&\quad4x-6y=4\cdots(ㄴ)\\
\hline
&\quad\quad\;\;0y=0 \end{align}$

$0\times y=0$을 만족하는 $\bbox[#ffff00]{y}$의 값(해)은 $\bbox[#ffff00]{\text{모든 수}}$ 입니다.

$2x-3y=2 \cdots( ㄱ)$을 $x$에 대해 정리하면 $x=\dfrac{1}{2}\times(3\bbox[#ffff00]{y}+2)$이고 $\bbox[#ffff00]{y}$에 $\bbox[#ffff00]{\text{모든 수}}$를 대입하면 주어진 연립일차방정식이 무수히 많은 해를 갖는다는 것을 알 수 있습니다.

예제를 통해 연립일차방정식의 해가 무수히 많은 경우는 다음과 같이 정리할 수 있습니다.

• 등식의 성질로 변형하여 같은 방정식이 될 때

해가 없는 경우

가감법을 이용해 $x$를 소거한 방정식$\square\times y=\triangle$의 해 $y$ 값이 존재하면 나머지 해 $x$값도 정확히 하나 존재 함을 알 수 있습니다. 따라서 해가 없을 조건은 $\square\times y=\triangle$의 해가 없을 조건과 같을 것이라고 추측할 수 있습니다. 해가 없는 경우에 대한 문제를 풀어 보면서 확인해 봅시다.

$\begin{cases}2x-3y=2\cdots( ㄱ)\\4x-6y=3\cdots(ㄴ)\end{cases}$의 $x$를 소거

$\begin{align}&\quad4x-6y=4\cdots( ㄱ\times2)\\
-)&\quad4x-6y=3\cdots(ㄴ)\\
\hline
&\quad\quad\;\;0y=1 \end{align}$

$0y=1$의 해가 존재하지 않기 때문에 주어진 연립일차부등식의 해는 없습니다. ( 이유 : $ax=b$꼴)

연립일차방정식 해의 개수 증명

다음 미지수가 2개인 연립일차방정식의 해의 개수에 대해 생각해 봅시다.

조건: $a,b,c,a’,b’,c’$: 상수, $a\neq0,\;b\neq0,\;a’\neq0,\;b’\neq0$

$\begin{cases}ax+by=c\cdots(ㄱ)\\a’x+b’y=c’\cdots(ㄴ)\end{cases}$에서 $y$를 소거해 봅시다.

$\begin{align}&\quad \dfrac{a}{b}x+y=\dfrac{c}{b}\cdots\left(ㄱ\times\dfrac{1}{b}\right)\\
-) &\quad \dfrac{a’}{b’}x+y=\dfrac{c’}{b’}\cdots\left(ㄴ\times \dfrac{1}{b’}\right)\\
\hline
&\quad\left( \dfrac{a}{b}-\dfrac{a’}{b’}\right)x=\dfrac{c}{b}-\dfrac{c’}{b’}
\end{align}$

$\left(\bbox[#ffff00]{\dfrac{a}{b}-\dfrac{a’}{b’}}\right)\bbox[#94feff]{x}=\bbox[#dcff8c]{\dfrac{c}{b}-\dfrac{c’}{b’}}$의 해 $\bbox[#94feff]{x}$의 개수는 다음의 결과에 따라 달라집니다. (이유: $ax=b$꼴 방정식) 따라서 다음이 성립합니다.

1. 해가 1개일 조건
   • $\dfrac{a}{b}\bbox[#ffff00]{\neq}\dfrac{a’}{b’}$
2. 해가 무수히 많을 조건
   • $\dfrac{a}{b}\bbox[#ffff00]{=}\dfrac{a’}{b’}$이고 $\dfrac{c}{b}\bbox[#dcff8c]{=}\dfrac{c’}{b’}$
3. 해가 없을 조건
   • $\dfrac{a}{b}\bbox[#ffff00]{=}\dfrac{a’}{b’}$이고 $\dfrac{c}{b}\bbox[#dcff8c]{\neq}\dfrac{c’}{b’}$

※※ 이 조건은 일차함수의 $\bbox[#ffff00]{\text{기울기}}$와 $\bbox[#dcff8c]{y\text{절편}}$에 대한 조건과 일맥상통합니다. (직선의 방정을 이용한 연립방정식 풀이) ※※

$\bbox[#94feff]{x}$의 해를 $(ㄱ)\;:\; a\bbox[#94feff]{x}+by=c$에 대입하면 아래와 같은 이유로 $y$값도 정확히 하나로 결정됩니다.

• $a\bbox[#94feff]{x}+by=c$ 를 정리하면 $by=-a\bbox[#94feff]{x}+c$이고 $b\neq0$이므로 해($y$)가 하나입니다.

따라서 위의 $\bbox[#94feff]{x}$의 해의 개수에 대한 조건이 연립일차방정식의 해의 조건과 일치합니다.

연립방정식 해의 개수 공식

$\bbox[#ffff00]{\dfrac{a}{b}=\dfrac{a’}{b’}}$의 조건과 동일한 식에 대해 정리하면 다음과 같습니다.

1. 비율: $\dfrac{a}{b}=\dfrac{a’}{b’}\Leftrightarrow\dfrac{a}{a’}=\dfrac{b}{b’}$
2. 비: $a:b=a’:b’\Leftrightarrow a:a’=b:b’$

조건 $\dfrac{a}{b}=\dfrac{a’}{b’}$ 변형

따라서 $\dfrac{b}{a}\bbox[#ffff00]{=}\dfrac{b’}{a’}$조건과 $\dfrac{c}{a}\bbox[#dcff8c]{=}\dfrac{c’}{a’}$조건은 다음과 같이 변형할 수 있습니다.

• $\dfrac{a}{b}\bbox[#ffff00]{=}\dfrac{a’}{b’}$ $\Rightarrow$ $\dfrac{a}{a’}\bbox[#ffff00]{=}\dfrac{b}{b’}$
• $\dfrac{c}{b}\bbox[#dcff8c]{=}\dfrac{c’}{b’}$ $\Rightarrow$ $\dfrac{a}{a’}\bbox[#dcff8c]{=}\dfrac{c}{c’}$

연립방정식 해의 개수 판정

다음과 같은 일반적인 연립일차방정식에서 해의 개수는 다음과 같이 판정할 수 있습니다.

$a,b,c,a’,b’,c’$: 상수, $a\neq0,\;b\neq0,\;a’\neq0,\;b’\neq0$인 연립일차방정식

$\begin{cases}ax+by=c\cdots(ㄱ)\\a’x+b’y=c’\cdots(ㄴ)\end{cases}$의 해의 개수에 대해 다시 한번 정리하면 다음과 같습니다.

1. 해가 1개일 조건
   • $\dfrac{a}{b}\bbox[#ffff00]{\neq}\dfrac{a’}{b’}$
2. 해가 무수히 많을 조건
   • $\dfrac{a}{b}\bbox[#ffff00]{=}\dfrac{a’}{b’}$이고 $\dfrac{c}{b}\bbox[#dcff8c]{=}\dfrac{c’}{b’}$
3. 해가 없을 조건
   • $\dfrac{a}{b}\bbox[#ffff00]{=}\dfrac{a’}{b’}$이고 $\dfrac{c}{b}\bbox[#dcff8c]{\neq}\dfrac{c’}{b’}$

위의 조건을 연립방정식에 적용하기 편하게 $\bbox[#94feff]{\text{동류항의 계수비}}$로 정리하면 다음과 같습니다.

1. $\dfrac{a}{b}\bbox[#ffff00]{=}\dfrac{a’}{b’}$ $\rightarrow$ $\dfrac{a}{a’}\bbox[#ffff00]{=}\dfrac{b}{b’}$
2. $\dfrac{c}{b}\bbox[#dcff8c]{=}\dfrac{c’}{b’}$ $\rightarrow$ $\dfrac{b}{b’}\bbox[#dcff8c]{=}\dfrac{c}{c’}$

따라서 다음과 같이 공식을 유도할 수 있습니다.

1. 해가 1개일 조건: $\dfrac{a}{a’}\bbox[#ffff00]{\neq}\dfrac{b}{b’}$
2. 해가 무수히 많을 조건: $\dfrac{a}{a’}\bbox[#ffff00]{=}\dfrac{b}{b’}\bbox[#dcff8c]{=}\dfrac{c}{c’}$
3. 해가 없을 조건: $\dfrac{a}{a’}\bbox[#ffff00]{=}\dfrac{b}{b’}\bbox[#dcff8c]{\neq} \dfrac{c}{c’}$

수학 문제를 빠르고 정확하게 풀려면, 이론을 완벽히 이해하고, 문제를 체계적으로 푸는 방법을 익히는 것이 중요합니다. 이미 언급한 연립일차방정식 해의 개수 판별법을 마스터했다면, 이제 더 고급 문제와 다양한 유형을 풀어볼 때입니다. 이를 위해 EBS와 엠베스트 인강을 추천드립니다. 두 플랫폼에서는 전문 강사진의 명쾌한 강의와 함께, 문제 풀이의 핵심을 쉽게 배울 수 있는 강의를 제공합니다.

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